1/m + 1/(m+1) + … + 1/(m+n) は整数値をとらない

質問

1/m + 1/(m+1) + … + 1/(m+n) は整数値をとらない

と聞いたのですが、どうしてなのですか？

回答No.7

noname#47975 · ベストアンサー

#6です。

#6での証明において若干の誤りを発見致しましたので、ご訂正
させていただきます。

(m+n)/2 < p < (m+n)の箇所についてですが、

m ≦ (m+n)/2でなければならない事を見落としておりました。
m ≦ (m+n)/2であるためには、m ≦ nでなければなりません。

(m+n-1)/2 < p < (m+n-1)の箇所についても、

m　≦ (m+n-1)/2であるためには、
m ≦ n - 1でなければなりません。

これは両者ともm < nのときに成立するので、
m < nのときは、一応、#6の証明で良いわけですね．．。

後、m≦nの場合については、

1/m + .... + 1/(m+n) < 1/m + .... + 1/m = n/m ≦ 1より

与式は整数値を取らない事が証明されます。

回答No.6

noname#47975

まず、m+nが偶数、奇数の場合に分けて証明する事を試みます。

(1)m+nが偶数のとき

以下のチェビシェフの素数定理である

「任意の自然数nにおいて、n < p < 2nとなるような素数pは
必ず存在する」

を適用すれば、(m+n)/2 < p < (m+n)を満たす素数pが存在します。

ここで、
1/m + 1/(m+1) .... +1/p .. + 1/(m+n) = K(Kは整数）
であると仮定します。

1/m + 1/(m+1) ... + 1/(m+n) = K - 1/p
そして、L = {m×(m+1)........×(m+n)}÷pとおき、
両辺にLをかけると、左辺は整数となり、
右辺はLK-L/pとなります。

ここで、(m+n) < 2pより、
Lにおけるどの因数においてもpの約数ではない事がいえるため、
LKは整数であり、L/pは整数とならず、左辺は整数なので矛盾します。

(2)m+nが奇数の時

(m+n-1)/2 < p < (m+n-1)
となるような素数pは存在し、
(m+n-1) < 2pとなる事から、
(m+n)≦2pとなります。
だが、(m+n)は奇数、2pは偶数であるので、
(m+n)=2pになる事はあり得ない。
よって、(m+n) < 2pであると言える。

以降は、(1)と同様の議論で矛盾を導き出せます。

回答No.5

yoikagari

以下、回答を
(1/1+1/2+1/3+…+1/nの場合と基本的に考え方は一緒です)

証明
「
m，m+1，・・・，m+nから任意に自然数kをとると
kは以下のように書ける。
k=(2^s)*(2t-1)
sは0以上の整数、tは自然数
(つまり、kを素因数分解したときの2の指数がsとなる)
「kの中で、sの値が最大になるようなものがあるので、それをk_0とする。
(このときのsの値をs_0とする)」・・・※

ここで補題を示します。
m，m+1，・・・，m+nのなかには、素因数分解したときの2の指数がs_0となるのは、k_0以外にはない。

補題証明
背理法で示す。
m，m+1，・・・，m+nのなかに、2の指数がs_0となるような数がk_0以外にk_1があったと仮定する。・・・○

k_0=2^(s_0)*{2(t_0)-1}
k_1=2^(s_0)*{2(t_1)-1}
ただしt_0、t_1は自然数である。

k_0＜k_1のとき
m，m+1，・・・，m+nのなかに、2の指数がs_0となるのは少なくとも
k_0=2^(s_0)*{2(t_0)-1}，2^(s_0)*{2(t_0)+1}，・・・，k_1=2^(s_0)*{2(t_1)-1}
a=2^(s_0)*{2(t_0)+1}とすると、{a+(k_0)}/2=2^{(s_0)+1}*(t_0)
したがって、m，m+1，・・・，m+nのなかに2^{(s_0)+1}で割り切れる数{a+(k_0)}/2が存在するので、※に反する

k_1＜k_0のとき
k_1=2^(s_0)*{2(t_1)-1}，・・・，2^(s_0)*{2(t_0)-3}，k_0=2^(s_0)*{2(t_0)-1}
b=2^(s_0)*{2(t_0)-3}とすると、{a+(k_1)}/2=2^{(s_0)+1}*{(t_0)-2}
したがって、m，m+1，・・・，m+nのなかに2^{(s_0)+1}で割り切れる数{b+(k_0)}/2が存在するので、※に反する

したがって、○の仮定は誤りで、m，m+1，・・・，m+nのなかには、素因数分解したときの2の指数がs_0となるのは、k_0以外にはないことがいえた。
補題証明終

さて、問題に取り掛かろう
1/m+1/(m+1)+…+1/(m+n)=T(整数)
となると仮定する。
m，m+1，・・・，m+nの最小公倍数cをとる。
よって
c/m+c/(m+1)+…+c/(m+n)=cT・・・□

k_0はm，m+1，・・・，m+nのなかで、素因数分解したときの2の指数が最大のs_0となる。
したがって、cを素因数分解したときの2の指数はs_0となっている。・・・■
よってcは偶数であり、したがって□の式の右辺=cTは偶数である

しかし補題より、「m，m+1，・・・，m+nのなかには、素因数分解したときの2の指数がs_0となるのは、k_0以外にはない。」ことがいえている。
よって、□の式の左辺のc/(k_0)だけが奇数で、残りのc/m，・・・，c/{(k_0)-1}，c/{(k_0)+1}，・・・，c/(m+n)は偶数となる。
よって、□の式の左辺は
c/m+c/(m+1)+…+c/(k_0)+・・・+c/(m+n)=(偶数)+(奇数)+(偶数)=(偶数)+(奇数)=奇数となる。
以上より□の式の両辺は、奇数=偶数となって不合理

したがって、1/m+1/(m+1)+…+1/(m+n)が整数になりえないことが示された。
証明終
」

回答No.4

einart

私は整数論に詳しくないので、思いついたことを書きます。

少なくとも　ｍ～ｍ+ｎ-1　の数を複数個選んで（m+n）が構成出来ないと無理です。　・・・　この条件を後で使いましょう

１/A1　+　１/A2　+　１/A3　...+１/An　を考えると

＝（B1+B2+B3...Bn）/A1A2・・・An

　　　　※　Bm　＝　A1A2・・・An/Am

と出来ます、ここで　B1～B[n-1]　は全て　An　を約数として持ちますが　Bn　は　An　を約数に持ちません。（最初の条件参照）
それ故に　（B1+B2+....Bn）　は　An　で割ることが出来ないので整数ではありません。

つまり任意のｍに対し、ｍ+ｎが素数になるような　ｎ　では例の和は整数にならない。

これを応用して（略証しますが）

｛ｍ、ｍ+1...、ｍ+ｎ｝（＝Sとさせて頂く）　この集合を考えて。この中で互いに素な元が含まれていれば例の和は整数にならない。　

と出来ます。それゆえに

任意のｍに対し、Sが互いに素な元を含まないようなｎ
そういうｎは存在しない

このことを証明すればよろしいと思います。
ちなみに私はめんどくさいのでこれ以上やりません。
katadanaokiさんの理解と発展に繋がることを祈ります。

回答No.3

zk43

これは結構難問だと思います。
1/1+1/2+1/3+…+1/nが整数ではないことの証明は知っていますが、
途中からの連続する自然数の逆数和の場合は残念ながら知りません。
ただ、ポール・エルデシュという数学者が考えた問題であることは
知っていたので、検索をかけてみたらちょっと書いてあるサイトを
見つけました。証明までは載ってませんでしたが・・・
とりあえず調べるきっかけとして。

参考URL：

http://www5d.biglobe.ne.jp/~bongo/math/math02.html#i6

回答No.2

noname#77845

「1/2+1/3+1/6=1 は整数となりますので」
1/4と1/5はどこへいったの？

お礼

もとの問題の形をちょっと変形した
「1/2+1/3+1/6=1 は整数となりますので」
No1様の説明には不備がある、という意味です。

回答No.1

Mr_Holland

感覚的でよろしいのなら、1/m + 1/(m+1) + … + 1/(m+n) が整数となるためには、少なくとも、1/(m+n) がその正整数倍も含めて(m+n)個なくてはなりませんが、1/(m+n)を除いた　1/m + 1/(m+1) + … + 1/(m+n-1) だけでそれを作ることができないからだと思います。

お礼

ありがとうございます。でも、

ちょっと変形した

1/2+1/3+1/6=1

は整数となりますので、もう少し込み入った議論の必要性を感じています。