(2m)!(2n)! は (m+n)!m!n! で割り切れる

質問

(2m)!(2n)! は (m+n)!m!n! で割り切れる

いくつか実験して確かめたので、正しいことにはほぼ確信があります。
このことの証明をご存知の方は教えてください。
別解などもいただけるとありがたいです。

回答No.1

zhidao · ベストアンサー

k!の中の素数pの最高冪は、
[k/p]+[k/p^2]+[k/p^3]+…
ですから、
任意の正整数rに対して、
[2m/r]+[2n/r]≧[(m+n)/r]+[m/r]+[n/r]
が成り立つことが示せれば、
「(2m)!(2n)! は (m+n)!m!n! で割り切れる」
ということを示したことになります。
任意の正整数rに対して、
[2m/r]+[2n/r]≧[(m+n)/r]+[m/r]+[n/r]
が成り立つことを示すのは容易です。

お礼

ありがとうございました。