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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:単位元について)
単位元の条件とは?
このQ&Aのポイント
- 質問者は、群における単位元についての条件を考えています。
- 具体的には、単位元の一意性について疑問を持っており、ルールを付け加える必要があるのか尋ねています。
- 質問者は、ルールを追加して計算上で単位元の一意性を導きたいと考えています。
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質問者が選んだベストアンサー
ちょっとやりたい事が見えませんね... Gを加法群、Nを自然数の集合として、G×N(直積)に群の構造を入れたいのかな、と思ったらそうでもないんですかね?以降Gの単位元をe, Nの零元を0と書きますね(あなたの記号とは違うけど)。 で、G×Nの元としては、 i≠j の時当然 <e, i>≠<e, j> ですが、あなたのやりたい事としては、Ωの元としては『[0GXi=0GXj(i≠j)]』となるようにしたいと書いてある。 で、これをG×Nの上に同値条件 Rを設定して、G×Rを同値条件Rで割った商集合(G×N) / R をΩ とした時に [e, i] = [e,j] としたい、という風に解釈するとします。すると、例えば Rとして<a, i> R <b, j> ⇔a = b とすると確かに [e, i] = [e,j] とはなりますが、これだと (G×N) / R は自然に Gと同一視できることになってしまい、これでも①②を満たしますが、繰り返しになりますがΩの構造としてはGと全く変わりません。 G×Nに群の構造を入れたいのなら、G×Nにおける単位元は「ただ一つ」なので、何かしらの自然数 m に対して <e, m>がG×Nの単位元になるようにしたいのなら、m≠nなら <e, m>≠ <e, n> なので、 <e,n>は当然G×Nの単位元では「ありません」。 Ωとしてどうゆう構造を考えているのか、補足に書いてもらえますか?
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- tmppassenger
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回答No.2
(多分、根本的に「単位元の一意性」という意味を勘違いしていると思われますので、「単位元の一意性」とはどういうことだったか、もう一度確認してください)
お礼
ご回答ありがとうございます! ちょっとした装置の規則性を作ってたのですが、 演算の定義などもう一度考え直します。 また、分からない点が出たらご教授ください