クロネッカーのデルタについて

質問

クロネッカーのデルタ：δαβは
δikδkj　＝δij　＝　（1；i=j　のとき　or 0 ； i≠j のとき）　
という性質を持っているのですが、上式はどのように導出するのでしょう。考え方を教えて頂けないでしょうか。
また、　i≠ｋ　のときは、i , j　がどんな値をとっても上式の値は“0”にしかならないのではないかと思うのですが、どうなんでしょう？

回答No.2

kochory · ベストアンサー

もうちょっと詳しく説明したほうが良かったですね。

物理などで使う数学では、
「添え字に同じ文字が2つ現れたら、その文字について和をとる」
という規則が暗黙のうちに使われることがよくあります。
（相対論のテンソル演算における用法が広まったもの）

今の場合だと、添え字i,j,kがaからbまでの値を取るとした場合、
δikδkj は Σa≦k≦b δikδkj を意味していることがある、
ということです。
これなら
＞δikδkj　＝δij　＝　（1；i=j　のとき　or 0 ； i≠j のとき）
が成り立つこともわかるでしょう？

kについて和をとってしまえば、式の評価にkの値が関わってこないのは
当然のことですね。

補足

丁寧なご回答、ありがとうございます。
そしてすみません。また補足させていただきたいのですが、
このクロネッカーのデルタ記号は固体力学などで使用される記号で、
三次元の応力テンソルσij （i,j＝1～3）を考える場合、δijσij と表記することによって、
σ11、σ22、σ33という主応力を表すために使われる記号です。
そういうわけで、δikδkj が Σa≦k≦b δikδkj を意味しているとはちょっと考えにくいんですよね。

回答No.5

ryn

物性ではありませんが，物理をやっています．
皆さんが仰るように k についての和をとっていると思います．

参考URLでも前半で必要な数学(テンソル解析)をやるときに
総和規約と縮約の話は出てきいたので，
後半の物理的な内容の部分を覗いてみると
応力あたりの話でも総和規約を使ってそうです．

参考URL：

http://www.md.ams.eng.osaka-u.ac.jp/~nakatani/Lectures/Fundamentals_of_Solid_Mechanics/TEXT/HTML/node1.html

お礼

なるほど。参考になりました。
不精なもので、申し訳ありませんが ANo.5 さんへのお礼をもちまして
皆様へのお礼とさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.4

ojisan7

>δikδkj＝δij＝（1；i=jのとき　or 0；i≠jのとき）

というのは、明らかに、kについての和（縮約）をとっています。

回答No.3

N64

これで良いかどうか分かりませんが、
(1)　i=jのとき、
δikδkj = δikδki = δi1δ1i+δi2δ2i+δi3δ3i=1
(iは1,2,3のどれかだから)
(2)　i not = j のとき、
δikδkj = δi1δ1j+δi2δ2j+δi3δ3j
i=1のときはjは1ではないから,
δi1δ1j+δi2δ2j+δi3δ3j=0
以下、i=2,3のときも同様に0
したがって、δikδkj = 0

回答No.1

kochory

＞δikδkj　＝δij　＝　（1；i=j　のとき　or 0 ； i≠j のとき）　

これはkについて和をとっているんでは？

補足

補足させていただきます。
これは、δik×δkj の解がｋの値に支配されないという意味だと思います。