座標と速度を決めると・・・

質問

ランダウ＝リフシッツ「力学」のP2に

>経験が示すように、座標と速度のすべてを同時に与えるならば、系の状態は完全に決定され、系のそれ以後の運動は原理的には予言できる。数学的には、このことはつぎのことを意味する：ある時刻にすべての座標ｑと速度ｑ_dotを与えると、その時刻における加速度ｑ_2dotsの値もまた一通りにきまる。

とあるのですが、よく意味がわかりません。座標と速度を決めても加速度が決まるとはまったく思えないのですが。。。これはどういうことを言わんとしている文章なのでしょうか？？
よろしくお願い致します。

回答No.5

cyototu · ベストアンサー

ランダウの『力学』を読むくらいですから、質問者さんが偏微分を理解していると言う前提で解説します。

＞座標と速度のすべてを同時に与えるならば、系の状態は完全に決定され

を数学で表すと座標 q と速度 v のある関数 f が存在して

（１）　　f( q(t), v(t), t ) = 0

と表されていると言うことです。この式を時間で全微分すると

（２）　　f_q(q, v) q' + f_v (q, v) v' +f_t (q, v)= 0

となります。ただしここで　f_x はxで偏微分する、x'はxを時間で微分することを表しています。q'＝v　であり、v'は加速度です。qとvが与えられれば状態が一意に決まっているのですから、fはqとvの同時の関数になっています。したがって、f_v はゼロではありません。それ故（２）は加速度v’に関して解くことができ、加速度が一通りに決まります。

このように、ここでの論述を理解するには、ポテンシャルの概念も、ラグランジュアンの概念も、運動方程式の概念も必要ありません。もちろん、上の主張はそれらの概念と密接に結びついてはおりますが。

質問者さんは初心者なので仕方がありませんが、他の方もおっしゃているように、自由運動の意味が判っておりませんね。でも心配はありません。勉強は何でも習うより慣れろですから、意味が判らずに何度も使っているうちに意味が判ってくるときがやってきます。その反対に意味が判ってから先に進もうとは決してしないように。

お礼

ご回答ありがとうございます。
おぉ！確かにこの論理ならラグランジアンやポテンシャルの概念の前に加速度を解くことができますね！！
自由運動の意味については確かに取り違えていたようです。No３の方のおっしゃる通り、等速直線運動だけを考えても仕方ないですからね…。こういった用語って、結構感覚で使ってしまってるものが多いので気をつけたいと思います。
＞勉強は何でも習うより慣れろですから、意味が判らずに何度も使っているうちに意味が判ってくるときがやってきます。その反対に意味が判ってから先に進もうとは決してしないように。
私は結構、完璧に（あくまでも自分の感覚での、ですが）理解してから次へ進もう、と考える方なので、あまり始めからこだわりすぎないようにと反省することが多々あります^^; アドバイスありがとうございます。
最後に、お礼が遅くなって申し訳ありませんでした。回答を読ませて頂いて、また新たな疑問がいくつも出てきて、それを考えたりしているうちに返信ができずにいました。その疑問の方はもう少し調べたりしてみて、わからなければまた別に質問させて頂こうと思っています。

皆様ご回答ありがとうございました。

回答No.4

yokkun831

その直後をよく読解してください。
「加速度を座標および速度と結びつける関係を運動方程式という.」
つまり，No.1さんがおっしゃっているように，系のポテンシャルは
もちろん前提されていて（「系の」自由運動でもいいのです。粒子
間相互作用のポテンシャルがわかっていれば。），座標と速度のみ
の関数としてラグランジアンが定まり，運動方程式が決定するので，
系の運動はこれによって一意に導かれるという意味です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど～、ポテンシャルが前提されていれば速度（→運動E）、座標（→ポテンシャルE）からラグランジアンが決定できることがわかりました！

回答No.3

hitokotonusi

ポテンシャルがなければ加速度もないですよ。
一定の速度で直線運動をするだけです。

自由度の意味を誤解してませんか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かにポテンシャルがなければ等速直線運動なんですよね。。。実はこれもよくわかっていない点の一つです。
当該箇所までの文章でポテンシャルやら力やらの概念がどこにも導入されていないようなので、どう考えたらいいものなのか・・・。という感じで悩んでいます。。
自由運動の意味（打ち間違いですよね？）は正直ちきんと把握できてない可能性が高いです。ポテンシャルもない場を基本として考えていたのは確かですねぇ…。

回答No.2

kt1965

多分、ラグランジュ方程式について説明しようとしているのですよ。一応、別の「解析力学」の教科書から引用しておきます（無理やり翻訳しているので難しいかも知れませんし、式で解説するのも大変なのではしょります）。

ラグランジュ方程式は、編微分や全微分を形式的に取り扱うことにより、純粋に数学的に導かれる。・・・・ラグランジュ方程式では、運動量、位置（座標）いずれかのパラメータによって、保存力と非保存力に分けて取り扱うことが出来る。

つまり、保存力と非保存力という概念を統一すると、広義の力というものになります。広義の力というものは、有る加速度の存在を示唆します。これが保存力に働けば、それは位置エネルギーに相当する加速度であり、非保存力に働けば、それは運動エネルギーに相当する加速度になります。

多分、それを云おうとしているのでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞ラグランジュ方程式では、運動量、位置（座標）いずれかのパラメータによって、保存力と非保存力に分けて取り扱うことが出来る。
これは、何を保存力と非保存力に分けて取り扱うということなのでしょうか？広義の力を、ということなのでしょうか？
また、力という概念がどこから出てきたのかよくわかりません。。。
よろしければ引き続きよろしくお願い致します。

回答No.1

hitokotonusi

“系”という中にポテンシャルが含まれているのでは？

補足

ご回答ありがとうございます。
ここでは自由運動を考えているようなのでポテンシャルは含まれていないです。