二次関数

質問

成蹊大学2019年度経済学部A方式の大問4番の問題
座標平面上で、点A(－1,0)、および直線y=x上の点P(t,t)を考える。以下、放物線とは、xの二次関数のグラフを指すものとする。
(1)点Aを通り、点Pにおいて直線y=xと接する放物線が存在するための必要十分条件はt≠1である。またその時、放物線の方程式は？

赤線部分の式になんでなるのかわかりません…教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

放物線の方程式を
y = f(x)
とおきます。f(x)は具体的にはxの二次関数です。
放物線と、直線 y = x との交点のx座標は
f(x) = x
というxの二次方程式を解くことで得られます。
この二次方程式は
f(x) - x = 0 …★
と変形もできます。
接する条件より、この★は、x = t を二重解に持っていますので
f(x) - x は (x - t)^2 を因数にもちます。
よって、2次の係数を a とおくことで
f(x) - x = a (x - t)^2
すなわち
f(x) = a (x - t)^2 + x
とおくことができます。

…これでいかがでしょうか。