確率の問題なんですが（組合せ）

質問

（（問題文））
「１のカード×２枚、２のカード×３枚＝計５枚のカードを
並び替えて５桁の数字を作る場合、５枚とも異なる数のカードで
あれば５!個の数字ができるが、」

と、ここまではイイのですが、

「この内、１の２ヶ所の位置を入れ替えても同じ数字である。
従って５!を２で割る。さらに、２の３ヶ所も位置を入れ替えても
同じ数字だが、２ヶ所の並び替えも考慮して３!個ずつ重複している
ので、従って３!で割らなければならない。」

５！を２で割る、３！で割ると言う意味が分かりません・・・
何故その数で割るのかと・・・。

数学の定義みたいなもので、深く考える必要がないのか、
もしくは明確な理由があるのか。

是非、お教え下さい！

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

1のカード2枚を並び替えて2桁の数字を作ることを考えると、2枚とも異なる数字であれば2！通りの数字が出来るが、2！通りの全てが同じ数字（11）であるから2！で割る。
2のカード3枚を並び替えて3桁の数字を作ることを考えると、3枚とも異なる数字であれば3！通りの数字が出来るが、3！通りの全てが同じ数字（222）であるから3！で割る。
これと同じことです。
1のカード2枚と2のカード3枚を5枚とも異なるカードと考えると5！通りの並べ方が出来るが、そのうち、例えば11222について考えると2！×3！個同じ数字があることになる。2！と3！を掛け合わせているのは、1についての2！通りそれぞれ全てに2について3！通りの同じ数字があるからです。
全ての数字について2！×3！個同じ数字があるから、全体を2！×3！で割る。

定義というのは決めごとのことですから、こういったことを定義？と考えるのはおかしいです。どう説明してよいのかわかりませんが、なんらかの理由があってこういう計算をしているのだということはその理由がわからない場合でもわかることだと思うのですが。
何通りあるかということは、決めることではなく事実から導かれるものだということは理解できませんか？

回答No.2

sanori

トランプに見立てて、
１のカード２枚を、スペードのＡ、ハートのＡ
２のカード３枚を、スペードの２、ハートの２、ダイヤの２
としてみましょうか。

５枚のカードがたとえば、
Ａ２Ａ２２
というふうに並んでいるとします。
このうち３枚の「２」だけに着目して、左から１番目、２番目、３番目という考え方で、並び方は、
・スペード、ハート、ダイヤ
・スペード、ダイヤ、ハート
・ハート、スペード、ダイヤ
・ハート、ダイヤ、スペード
・ダイヤ、スペード、ハート
・ダイヤ、ハート、スペード
の６通りあります。
この「６」という数字は何かと言えば、
「３個から３個選ぶ順列の数」です。
すなわち、
スペード、ハート、ダイヤの３種類の２の並び方（順列）の数、
すなわち、
３！（＝６）です。

Ａ２Ａ２２　においても
ＡＡ２２２　においても
Ａ２２Ａ２　においても
２２ＡＡ２　においても
・・・・・
とにかく、どの場合でも、３枚の「２」は、左から１番目、２番目、３番目として考えることができます。
その、１番目、２番目、３番目の「２」のマークは区別しないという考え方なので、
３！で割ることになります。

さらに、
２枚の「Ａ」のカードについても、同様の考え方で、
左から１番目、２番目のＡのカードの並び方は
・スペード、ハート
・ハート、スペード
の２種類があります。
なぜならば、
「２個から２個選ぶ順列の数」なので、２！＝２　です。
しかし、マークは区別しないので、
２！で割ることになります。

以上のことから、
５！÷２！÷３！
となります。

回答No.1

redowl

1,1 は　　1a,1b
2,2,2は　　2a,2b,2c
とみなして、考えれば理解できるはず。