選択公理について

質問

選択公理が当たり前すぎてよくわからなくなりました。

まず、ここでの選択公理は、添字集合Λ上の添字付き集合族(A_λ)_[λ∈Λ]が、どのλ∈ΛについてもA_λは空集合ではないとき、この添字付き集合族の直積集合は空集合ではない。記号では、
Π_[λ∈Λ] A_λ=φ
と言う事とします。

しかし直積集合は、
Π_[λ∈Λ] A_λ
={(a_λ)_[λ∈Λ] | a_λ∈A_λ, λ∈Λ}
と定義されるので、そもそも(a_λ)_[λ∈Λ]は、Π_[λ∈Λ] A_λに属すので空でないのは当たり前なのではないでしょうか？

つまり、直積集合の定義自体によって、選択公理はすでに言えてるのではないでしょうか？

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

もうちょっと書いておくと、有限個の集合の直積なら、例えば数学的帰納法とかを使って定義できるかも知れない。

問題は無限個の集合の直積だと、（添字集合の『濃度』と自然数全体の集合の『濃度』との大小が一般に不明なので、要は添字集合が無限集合なので）数学的帰納法では定義出来ない。その状況でも直積集合を『厳密に』定義するにはどうするか？という事。

結局、あなたが2つの集合A,Bの直積が
「A×B={(a,b)| a∈A,b∈B}と定義される事と同様にΠ_[λ∈Λ] A_λを考えました。」
と「ナイーブ」に考えていることを、厳密化しないといけない。

回答No.3

tmppassenger

うーん、つまり

「A×B={(a,b)| a∈A,b∈B}と定義される事と同様にΠ_[λ∈Λ] A_λを定義する」

とその『同様に定義』というのを、『きちんと』記述出来ますか？
例えば、A×B×C, A×B×C×D とかいう風に有限個の集合の積なら『同様に』定義できるかもしれない。問題は例えばΛが無限集合の時に、その『同様に』定義するというのを『厳密に』書けますか？ということ。

回答No.2

tmppassenger

もうちょっと書いておくと、添字付き集合族も、直積集合の各要素も何らかの『写像』ですが、その写像がどういうものか、きちんと書けますか？という事。

お礼

回答ありがとうございます。

添字付き集合族は、添字集合から集合の集合への写像でλ→A_λと対応させる(λに対応する集合をA_λと表記する)と思います。

「直積集合の各要素も何らかの『写像』ですが」、とありますが、これは直積集合を普遍性によって定義するという事でしょうか？

2つの集合A,Bの直積が
A×B={(a,b)| a∈A,b∈B}
と定義される事と同様に
Π_[λ∈Λ] A_λ
を考えました。

回答No.1

tmppassenger

取り敢えず

◯ 添字集合Λ上の添字付き集合族(A_λ)_[λ∈Λ]
◯ (a_λ)_[λ∈Λ]

ってどんなもの（定義）でしたっけ？この辺を『きちんと』書けますか？