確率とlogに関して

質問

確率とlogの問題で疑問が出てきたので回答、解説お願いします。

確率
箱に白球が4個、赤球がn個入ってる
（1）箱から2個の球を取り出すときに、ともに白球である確率が2/7のときn＝アである。
（2）箱から3個の球を取り出すとき、少なくとも1個の赤球が含まれる確率はイウ/エオである。
（3）箱から3個の球を取り出すときに含まれる白球の個数をXとおくと、X＝1である確率はカキ/クケであり、
X＝2の確率はコサ/シスである。また、Xの期待値はセソ/タである。

log
xの関数log2(x^2+√2)はx=アのとき、最小値イ/ウをとる。
aを定数とするときxの方程式(log2(x^2+√2))^2-2log2(x^2+√2）+a＝0…(1)
が解を持つ条件はa≦エである。a＝エのとき方程式(1)はオ個の解をもち、また方程式(1)が3個の解をもつのはa=カ/キのときである。

確率のほうは
（1）のほうは2/7＝4C2/xと解いてxが7と出ました。
（2）において余事象ということは分かるのですが、4C3/11C3＝4/165。1－4/165=161/165となり約分不可能に・・・。

logのほうは代入してみましたが、意味不明な数式となり結局解けずじまいです。

どなたか回答、解説をお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

確率の(2)(3)の問題は、(1)で出た答えをそのまま使うのでしょうか？
つまり、(1)で例えばn = 8という答えが出たら、
『赤球は8個』として(2)(3)の問題を解くのでしょうか？

> 確率のほうは
> （1）のほうは2/7＝4C2/xと解いてxが7と出ました。

何をxとおいたのでしょうか？
またx = 7の場合、結局nは何になるのでしょうか？
それから、2/7＝4C2/xを解いてもx = 7とはならないと思います。

> （2）において余事象ということは分かるのですが、4C3/11C3＝4/165。1－4/165=161/165となり約分不可能に・・・。

赤球をx個(つまり、7個)と考えて計算していませんか？
赤球の個数はn個ですよね。

> log
> xの関数log2(x^2+√2)はx=アのとき、最小値イ/ウをとる。
> aを定数とするときxの方程式
> (log2(x^2+√2))^2-2log2(x^2+√2）+a＝0…(1)
> が解を持つ条件はa≦エである。a＝エのとき方程式(1)はオ個の解をもち、また方程式(1)が3個の解をもつのはa=カ/キのときである。
> logのほうは代入してみましたが、意味不明な数式となり結局解けずじまいです。

何を代入したのでしょうか？

log2(x^2+√2)の最小値に関しては、真数が最小になればlog2は最小値になります。
なのでx^2+√2が最小の時、log2(x^2+√2)は最小値をとります。
x^2+√2が最小になるのは、xがどんな値の時かを考えてみて下さい。

(log2(x^2+√2))^2 - 2log2(x^2+√2）+ a = 0の解に関する問題の方は、
log2(x^2+√2) = tと置けば、

(log2(x^2+√2))^2 - 2log2(x^2+√2）+ a = 0
↓
t^2 - 2t + a = 0

と変形できます。
これで二次方程式の解に関する問題になるので、ある程度解きやすくなると思います。

回答No.3

sanori

こんばんは。

（１）と（２）は、Ｃ という記号なんて使わなくても解けますよ。　＾＾

（１）
１個目が白の確率は　４／（４＋ｎ）
つづけて、２個目が白の確率は　３／（３＋ｎ）
よって
４／（４＋ｎ）・３／（３＋ｎ）　＝　２／７
（４＋ｎ）（３＋ｎ）　＝　７／２・（４・３）　＝　４２
ｎ^2　＋　７ｎ　－　３０　＝　０
（ｎ＋１０）（ｎ－３）　＝　０
ｎ≧０　なので　ｎ＝３

（２）
おっしゃるとおり、余事象です。
（１）を間違えてしまったので、約分不可能な答えが出てしまいましたね。

３連続白の確率は、上記と同じ考え方で、
４／７　×　３／６　×　２／５　＝　４／３５
よって余事象（１個以上が赤）の確率は、
１　－　４／３５　＝　３１／３５

（３）
Ｘ＝１　の確率は、
（白・赤・赤　が順不同　＝　）　４・（３・２）／（７・６・５）× 3Ｃ1
　＝　１２／３５
Ｘ＝２　の確率は、
（白・白・赤　が順不同　＝　）　（４・３）・３／（７・６・５）× 3Ｃ2
　＝　１８／３５
Ｘ＝３　の確率は、さっき求めたので、
（白・白・白　＝　）　４／３５

期待値　＝　（１×１２　＋　１８×２　＋　３×４）／３５

ｌｏｇの問題

＞＞＞logのほうは代入してみましたが、意味不明な数式となり結局解けずじまいです。

何を何に代入したのかが不明ですが、

ｆ（ｘ）　＝　log[2]（ｘ^2　＋　√２）
なのですから、両辺の指数を取れば、
２^f　＝　ｘ^2　＋　√２
となります。
ｆを最小にしたければ、２^f を最小にすればよいのですから、
ｘ^2　＋　√２　が最小であればよいわけです。
つまり、ｘ＝０　ということです。

log[2]（０^2　＋　√２）　＝　log[2]２^1/2　＝　１／２・log[2]２
　＝　１／２
「 ｘ＝０　のとき、最小値１／２をとる 」

もう一つのほうは、
ｆ^2　－　２ｆ　＋　ａ　＝　０
（ｆ　－　１）^2　＝　１　－　ａ
ｆ　＝　１　±　√（１－ａ）
解を持つためには、√　の中身が０以上
「　解を持つ条件は　ａ≦１　である　」

ｆを元の姿に戻せば、
log[2]（ｘ^2　＋　√２）　＝　１　±　√（１－ａ）

ａ＝１　を代入すれば、
log[2]（ｘ^2　＋　√２）　＝　１
両辺の指数を取れば、
ｘ^2　＋　√２　＝　２
「　ａ＝１　のとき方程式（１）は２個の解をもち　」

再掲
log[2]（ｘ^2　＋　√２）　＝　１　±　√（１－ａ）

√（１－ａ）　＝　ｂ　と置いて、
log[2]（ｘ^2　＋　√２）　＝　１　±　ｂ

両辺の指数を取れば、
ｘ^2　＋　√２　＝　２^(1±b)
ｘ^2　＋　√２　＝　２^1　×　２^(±b)
ｘ^2　＝　－√２　　＋　　２　×／÷　２^b

「方程式(1)が3個の解をもつ」
ここが、いちばん難しいところです！！！

右辺　＜　０　の場合は、解がありません。
右辺　＝　０　の場合は、ｘ が　ｘ＝０　の１通りだけです。
右辺　＞　０　の場合は、ｘ が　ｘ＝±なんちゃら　の２通りになります。

ということは、
右辺＝０　のケースと　右辺＞０　のケースが１個ずつある条件を探せばよいわけです。

再掲
右辺　＝　－√２　　＋　　２　×／÷　２^b

ということは、
２　×　２^b　
２　÷　２^b　
の、うちの片方が、√２　になるようにすればよいのです！

まず、
２　×　２^b　＝　√２
とするならば、
２^b　＝　√２　÷　２　＝　２^1/2　×　２^-1　＝　２^(-1/2)
ｂ　＝　－１／２　　・・・（あ）
また、
２　÷　２^b　＝　√２
とするならば、
２^b　＝　２　÷　√２　＝　２^1　×　２^(-1/2)　＝　２^(1/2)
ｂ　＝　１／２　　・・・（い）

（あ）、（い）どちらにしても、
log[2]（ｘ^2　＋　√２）　＝　１　±　１／２
となります。

±√（１－ａ）　＝　±ｂ　なのでしたから、
±√（１－ａ）　＝　±１／２
１　－　ａ　＝　１／４
ａ　＝　１　－　１／４　＝　３／４

「　方程式(1)が3個の解をもつのはa=　３／４　のときである。　」

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

Tacosan

確率の (2) ですが, 分母の 11C3 は何を意味してますか? 特に「11」って何?