確率

質問

確率変数X,Yが互いに独立で、それぞれ負の二項分布
P(X=k)、P(X=k)　　（k=0,1,2,・・・,α，β＞0）
に従うとき、Ｘ＋Ｙ　の積率母関数　Ｍ(t)　はどうなるか。

という問題で、回答がまず、Ｍx(t)とＭy(t)を求め、Ｘ＋Ｙが互いに独立だからＭ(t)＝Ｍx(t)Ｍy(t)　で答えを出しているのですが、
ここでいうＸ＋Ｙはどこに関係しているのでしょうか？
もし、Ｘ－Ｙならどうなるのですか？よくＸ＋Ｙの意味を理解できません。よろしくお願いします。

また、いま大学で確率を学んでいて、アクチュアリーのこと知ったのですが、アクチュアリーの試験の難易度ってどのくらいなのでしょうか？
もし、知っている方は教えてください。

回答No.2

guuman

Xの密度をf(x)とし
Yの密度をg(x)とすると
XとYが独立ということは
XとYの同時密度をq(x,y)とすると定義から
q(x,y)=f(x)・g(x)
である

Mx(t)=∫dx・exp(t・x)・f(x)
My(t)=∫dy・exp(t・y)・g(y)
であるから
Mx+y(t)
=∫∫dxdy・exp(t・(x+y))・q(x,y)
=∫∫dxdy・exp(t・(x+y))・f(x)・g(x)
=(∫dx・exp(t・x)・f(x))・(∫dy・exp(t・y)・g(y))
=Mx(t)・My(t)
Mx-y(t)
=∫∫dxdy・exp(t・(x-y))・q(x,y)
=∫∫dxdy・exp(t・(x-y))・f(x)・g(x)
=(∫dx・exp(t・x)・f(x))・(∫dy・exp(-t・y)・g(y))
=Mx(t)・My(-t)

密度にδ関数を使えば連続分布だけでなく離散分布や連続分布+離散分布でもこの理論によって証明されたことになる

回答No.1

tatsumi01

日本アクチュアリー会のページです。
http://www.actuaries.jp/actuary/index.html
問題例もあるけど、かなり難問ですね。
大学で応用統計学を専攻し、金融会社に（総合職ではなく専門職で）採用して貰って実務経験をつまないとムリではないかという気がします。