数学(センター形式)の問題です

質問

方程式　x^2＋y^2－4x－4y＋a＝0　はa<( ア )の時
点A(イ、ウ)を中心とする円Cを表す。
この円がx軸に接するならばa＝( エ )である。

以下、a＝( エ )とする。また、円C上の動点Qを、動径AQがx軸の正方向となす角がθ(0≦θ＜2π)となる点とし、Qからx軸、y軸へ下ろした垂線とx軸、y軸との交点をそれぞれP、Rとする。

この時、原点をOとし、四角形OPQRの面積をSとすると、S＝4(オ＋sinθ)(カ＋cosθ)である。

ここでt＝sinθ＋cosθとおくと、キ√ク≦t≦√ケである。

一方、sinθcosθをtで表すことによりS＝コ(t＋サ)^2
となるから、Sはθ＝シ/スπのとき最大値
セ＋ソ√タをとる。

という問題です。
エまでは解けたんですが(合っているか分からないですが…)面積のところが分かりません。
教えてもらえないでしょうか?

回答No.4

mister_moonlight

＞S＝4(1＋sinθ)(1＋cosθ)

ここから先の最大値を求める方法は指定されているが、もし、指定されていなければ“相加平均・相乗平均”が使える。
解法としては、そちらの方がsimple。

お礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございました!

回答No.3

mister_moonlight

＞エまでは解けたんですが(合っているか分からないですが…)面積のところが分かりません。

こう書いてるんだから、丸投げには該当しないだろう。

さて、a＝4まではわかるんだろう。
その時の円は、（x-2）＾2＋（y-2）＾2＝（2）＾2であるから、x＝2＋2cosθ、y＝2＋2sinθと表せるから、Ｐ（2cosθ＋2、0）、Ｒ（0、2＋2sinθ）。
従って、S＝4(1＋sinθ)(1＋cosθ)　（1＋sinθ≧0、1＋cosθ≧0）。
S＝4(1＋sinθ)(1＋cosθ)　＝4{sinθ*cosθ＋（sinθ＋cosθ）＋1}‥‥(1)
t＝sinθ＋cosθ＝√2*sin（θ＋π/4）であるから、-√2≦t≦√2　‥‥(2).
t＾2＝1＋2sinθ*cosθ　であるから、これを(1)に代入すると、Ｓ＝2*（t＋1）＾2　となるから、-√2≦t≦√2の範囲で最大値を考える事になる。（以下、省略）

計算には自信なし、検算して欲しい。ｗ

お礼

私が解いたのと答えが一致していて安心しました。
ご丁寧な返答ありがとうございました!

回答No.2

owata-www

このままだと丸投げになってしまうのでヒントだけ

円Ｃが中心が（0,0）で半径１の円の場合は円C上の動点Qを、動径AQがx軸の正方向となす角がθ(0≦θ＜2π)となる点は
(cosθ,sinθ)
です。

あとは、解いたんなら自信がなくても補足に書いてください（じゃないと削除対象なので）

お礼

最後まで一応解けました!
ありがとうございました!

補足

返答ありがとうございます。

S＝4(1＋sinθ)(1＋cosθ)になったんですが…どうでしょう?

回答No.1

Tacosan

Q (や P や R) の座標を θ を使って書いてみてください.

お礼

返答ありがとうございました!