段付き棒（梁）の曲げについて

質問

段付き棒（梁）が折れないか強度を評価するために、曲げ応力について考えております。

考えている梁ですが、
高さＨ1、幅Ｂ、長さＬ1の梁1と高さＨ2、幅Ｂ、長さＬ2の梁2を縦に繋げた長さＬ1+Ｌ2の梁です。
ヤング率は共に同じでＥとします。

梁1の先を固定し（固定端）、他方（梁2）を自由端とします。
自由端の先に荷重Ｗをかけています。
梁自体の重さは考えていません。

このときに梁1と梁2の接合面に生じる曲げ応力を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか？

断面が変化しない場合でしたらσ=M・Z/Iで求められるのですが、今回のように断面が不連続になる場合はどう計算すればよいのか分かりません。

応力を過小評価しなければ、大雑把な見積もりで大丈夫です。
（最終的に強度が十分か判断したいので、悪いほうに考えるのは問題ないです）
ちなみに最終的には切欠け係数を用いて安全率を出そうと考えています。

有限要素法は使わずに簡単に見積もりたいと考えています。
答えにくいのでしたら簡単なヒントだけでもご教授願います。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

> これは公称応力をσ＝M/Zで求め、応力集中係数αをかけて表面曲げ応力を算出するということなのでしょうか？

その通りです。ただし、たとえα＝100や1000などと出たとしても、強度計算上のα（要するにβ）は3で構いません。
局所応力値が破壊に直接影響を及ぼすわけではないからです。
表面応力の値が、引張強さをはるかに越えるようなバカ高い値になって、悩んでいる姿をよく見かけますが、応力値が引張強さを越えてはいけないという根拠はどこにもないのです。むしろ、越える応力が出ることはザラであり、その場合でも破損に至らずに稼動していることは多いのです。

> αは理論的には求められない
理論的という意味の捉え方によりますが、私に言わせれば、αは、偏微分方程式を解くことによって求められる値ですので、理論的に求められるということになります。ただ、実際の数値を求める際に、一筋縄ではいかないだけです。
一方のβは、αが実際の破壊に及ぼす影響であって、これは実現象を測定しなければ求めることができません。要するに、βは理論的には求められません。

> 片側に段のある棒の曲げを両側に段のある棒の曲げのデータで代用しても問題はないのでしょうか？

基本的にはＯＫです。
ただし、次のことに注意して下さい。（Ｈ１＞Ｈ２とします。）
両側に段のある棒”を対称面に関して半分にした形状と、”片側に段のある棒”とが一致するように条件を選びましょう。
言い換えれば、応力集中率表を使用する場合、ρ/ｂ（ρは段付き部の曲率半径、ｂは段付き部のρ＝０のときの幅、ここでのＨ２）というパラメータを用いますが、幅は、”両側に段のある棒”では２ｂ＝Ｈ２、”片側に段のある棒”ではｂ＝Ｈ２と考えて、ｂの値を算出します。

以下、少々細かい話です。
１．引張なら、上記で事実上ＯＫです。

２．曲げの場合には、次の２つの問題点があり、引張のときほどコトは単純ではありません。
(1)”片側に段のある棒”では、段付き部の両側で曲げ中心がズレ、”両側に段のある棒”ではこれが起こらない。
(2)”片側に段のある棒”の応力分布と、”両側に段のある棒”の応力分布を対称面で半分にして眺めたときの応力分布を比較すると、後者では前者に引張成分が加わっている状態になる。

(1)については、軸ズレの現象は、応力集中率を高めますが、幅に対して長さが十分に長く、特に太い方の部材が幅の２倍以上の長さがあれば、影響はほとんどありません。また、そんなことを言っていては実務が解決できないので、無視して考えることにします。
(2)については、幸いにして応力集中率は、引張の場合も曲げの場合も、大して変わらないために、これも考えなくて良いと思います

なお、(1)で応力集中率が高くなる度合いをどうしても知りたければ、引張りの場合について、”段付き棒”と”最大＆最小断面部が同寸法の片側切欠板（要するに、幅がＨ１，切欠部の最小幅がＨ２の板）”を比較してご覧になると良いでしょう。
後者の方が高く出ます。しかし、(1)の軸ズレでは、この相違ほど出ません。要するに、応力集中率が高くなる度合いの上限値がわかります。

お礼

お礼が遅くなってすいません。
度々の質問に詳しく教えていただきありがとうございました。
大変助かりました。
これを元に自分で勉強していこうと思います。

回答No.1

h191224

この梁は、どんな加工方法で作られているのですか？

”接合面”と書かれているのを見ると、梁１と梁２の間は接着ですか？
だとすると、接着強度の検討をする必要があり、話が難しくなります。

溶接だとすると、溶接強度の検討をする必要があります。

以上いずれも、もっと詳細な条件がわからなければ、回答の指針さえ出せません。

もし、削り出しで作るのであれば、曲げ応力で評価できます。

まず、接合部での表面曲げ応力を、細い方の断面で計算します。

次に、脆性破壊や高サイクル疲労破壊のように、材料が弾性域で破壊してしまうような場合には、切欠部の応力集中係数をαとして、切欠係数βを、次のように設定します。
　　　β＝α
ただし、
　　　通常材料の場合には、α≧3のとき、β＝3
　　　高強度鋼の場合、α≧3.5のとき、β＝3.5
要は、表面曲げ応力を3倍または3.5倍し、これを強度基準値以下となるように設定すれば、強度評価を行うことができます。

材料が延性一発破壊や、低サイクル疲労破壊を起こすような場合には、良く知られた、次の式で評価できます。
　　　弾性計算で得られる表面曲げ応力　＝　1.5　×　引張強さ

ただし、以上いずれも、強度基準値を適切な安全率で割っておく必要があります。

なお、以下、間違っていますよ。
１）σ=M・Z/I　←　σ＝M/Z
２）切欠係数は、安全率とは無関係です。混同してはいけません。
　　安全率は、負荷のばらつきと、材料強度のばらつきとから決まる値です。

補足

詳しい回答ありがとうございます。そして、間違いを指摘していただいて大変助かります。

＞この梁は、どんな加工方法で作られているのですか？

　鋳造です。ですので接着・溶接等は行いません。
　説明不足ですいません。

＞まず、接合部での表面曲げ応力を、細い方の断面で計算します。

　これは公称応力をσ＝M/Zで求め、応力集中係数αをかけて表面曲げ応力を算出するということなのでしょうか？

　また、応力集中係数αの求め方について質問があります。

　αは理論的には求められないと本に記載されていたので、応力集中係数のデータ集より引用しようと考えております。
　今私が計算しようとしている段付き棒は片側だけに段があるものですが、データ集には両側に段のある棒（いわゆる両側段付きフィレット）の曲げに関するデータしかありませんでした。
　片側に段のある棒の曲げを両側に段のある棒の曲げのデータで代用しても問題はないのでしょうか？