det(AB)=det(A)+det(B)

質問

n次正方行列A,Bに対してdet(AB)=det(A)+det(B)
という定理はどういう問題で利用できますかね？

det｜A　B｜　＝　det（A）det（D)
　　｜0　D｜
は、かなり使い勝手がよくて重宝してるんですが、この定理はよくわかりません。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

利用法はいろいろあると思いますが
(1) 直交行列では AA' = E → det(A)^2 = 1
(2) det(AA^-1) = det(A)det(A^-1) = det(E) = 1 から
det(A^-1) = 1/det(A)
(3) A = QΛQ^-1 → det(A) = det(Λ)
などなど。

お礼

お礼かなり遅れました＾＾；
（3）のA = QΛQ^-1 → det(A) = det(Λ)
はどういう意味ですかね？

（1）直行行列はまだ習っていないんでこれから調べてみます。

（2）は…証明のときは使えそうですが計算式の時は使えるんでしょうか…

回答No.3

tatsumi01

A = QΛQ^-1 → det(A) = det(Λ) の件
QQ^-1 = E なので det(Q)det(Q-1) = det(E) = 1 はわかりますか。そうすると
もし A = QΛQ^-1 と分解できるならば det(A) = det(Λ) ですね。
未だ習っていないかも知れないけれど、上記の分解は行列の固有値分解を習うと出て来ます。
すると det(A) = det(Λ) の意味はわかるときが来るでしょう。

お礼

なるほど。
もう少し勉強進めてみますね。
ありがとうございました。

回答No.1

tatsumi01

この定理
det(AB)=det(A)det(B)
の間違いではないんですか。それこそいろんなところで使えますが。

お礼

ごめんなさい勘違いしてました。
det(AB)=det(A)det(B)
が正しいです。

たまたまこの定理だけ例題が載ってなかったんで、イメージが湧きません。。
簡単な質問かもしれませんがよろしくおねがいします。