交流回路について困っています！！なぜ複素数を導入？？

質問

交流回路で 電流電圧を複素数で表しますが、
なぜ複素数を導入するのですか分かりません！
　(1)計算が楽になるから＆(2)位相のズレを容易に確認できること
は分かるのですが、それは根本的に複素数を導入する答えになって
いないと思うのです。
　どなたか答えてくださる方はいらっしゃいませんか？？
よろしくお願いします。

回答No.10

noname#84191

時間が経っていますが・・・
少しだけ・・

先ず、一寸した作業をお願いします。
Ａ４位の紙を用意してください。
それを３等分します・・・おおよそで結構です。

準備が出来ましたなら、一番左に次の事を描いてください。
交流電源の記号を書きます・・・
電源と対称の位置に抵抗の記号を書きます。
電源と抵抗の間を線で結びます。

電源の記号の近くに
Ｖsinωｔとでも書き込んでおきます。

次に、右端に正弦波を描いてください。
１サイクルでよいでしょう。
何れもフリーハンドでＯＫです・・
さて、準備は出来ました。

交流と、三角関数の間には直接的な関係は何もありません。
交流が先にありきです・・・
ある時に、この交流を表現するために、三角関数を当てはめたら、とても相性が良い事が分かった・・様な話を昔聞いたことがあります。

交流を三角関数で表すと、少し扱い難い所があります。
単振動・sinΘは　定義より、Ｙ軸への影ともいえます。
単振動は扱うのに少し不便なのです。
絵を見ていただくと分かるとおり、動きが一定ではないので・・
正負の最大値では動きが止まり、中間では最大になっています。

しかし、実際には動きが止まっているなどと言う事はありません。
等速円運動をしています。
その等速円運動を表す場所が、複素平面と言われる所です。

さて、３つに分けた紙の真ん中が残っていますね。
そこに、単位円を書いてください。
Ｘ軸を実軸　Ｙ軸を虚軸として・・
（まあ、面倒な説明は抜きにします）

何が嬉しいかと言って、単振動では速さが様々に変化する・・計算が面倒なのが、複素平面で表すと、等速運動として扱えるのです。
同じ速さで動いているのですから、扱い（計算）は簡単と言う事になります。

これが、交流回路で、複素数を導入する理由ではと私は考えています。

複素数・・最初は少々勉強しなくてはなりませんから、大変と言えば大変です・・
しかし、その大変さを補って余りある効果があります。

あ、数学は初心者ですから、突っ込みはなしでお願いします。

質問者さんへ何かのきっかけともなればと思いました。
しかし、文字にするのは難しいですね。

回答No.9

chikin_man

下記の方が詳しく説明されていますので補足します。
下記訂正します。文章の最初の方の「複素数」→「虚数」

複素数というよりも、オイラーの式を導入するという考えです。
オイラの式からiを「虚数」とすると　A*e^(x・i)=A*cos(x)+i*A*sin(x)
という公式があります。交流回路の入力電圧はほとんど正弦波で
表わすことができます。そこで、この式e^(x・i)のsin(x)の部分
だけ使うためにオイラの式を使います。
この式を使う大きな利点は指数関数eは微分や積分でe^(x・i)の形
が残り、その部分をまとめて計算が楽にできることにあります。
微分や積分を使わなくても　抵抗をR、コイル(インダクタ)をjωL、コンデンサを1/(jωC)とおいて計算でき、楽にオイラーの式より変換も可能です。
電圧の方程式の積分や微分の中にある電流iにA*e^(x・i)を入れてみるとわかると思いますが・・・

お礼

訂正ありがとうございます。

またよろしくお願いします。

回答No.8

chikin_man

下記の方が詳しく説明されていますので補足します。

複素数というよりも、オイラーの式を導入するという考えです。
オイラの式からiを複素数とすると　A*e^(x・i)=A*cos(x)+i*A*sin(x)
という公式があります。交流回路の入力電圧はほとんど正弦波で
表わすことができます。そこで、この式e^(x・i)のsin(x)の部分
だけ使うためにオイラの式を使います。
この式を使う大きな利点は指数関数eは微分や積分でe^(x・i)の形
が残り、その部分をまとめて計算が楽にできることにあります。
微分や積分を使わなくても　抵抗をR、コイル(インダクタ)をjωL、コンデンサを1/(jωC)とおいて計算でき、楽にオイラーの式より変換も可能です。
電圧の方程式の積分や微分の中にある電流iにA*e^(x・i)を入れてみるとわかると思いますが・・・

お礼

ご回答ありがとうございます。

式の計算において、計算が楽になるということですね。

今疑問に思っているのは
今行っている計算においては実世界では実数しか意味を持ちません。複素数を導入してもなぜその問題が大丈夫なのかが、今分からないのです。

また、よろしくお願いします。

回答No.7

noname#95070

1059859年大学入試問題（試験時間90分：全一問）
問
エジプトで1000000000000000000000000000000000000000000000000000000人の民が一人1ゴールドづつ、王に差し出した。合計いくら？

お礼

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000×1[ゴールド]でしょうか？？

回答No.6

noname#95070

No2です
＞
三角関数が複雑に絡み合った式は、実質解けない（解くのに1か月かかるとか）。

「それまでsin,cosで計算していたのに」
違います。計算できなかったのです。

だから、計算できるようになったので急に複素数を入れて計算したのです。

＞何か、よい考えがあれば、またよろしくお願いします。
って、よい考えもなにも、
「計算が楽になる」ってことが最大の理由ですよ。

あなたはまだ素子が数個程度しかない回路の解析しかしてないんじゃないですか？（もしくは十数個）素子が100個ある回路の解析を考えてください。

＞さらにわかりやすく
エジプトで2000人の民が一人5ゴールドづつ、王に差し出した。合計いくら？

あなたは
(1)5+5+5+5+5+5+5+5+・・・+5＝10000
って計算しますか？
(2)2000*5＝10000
って計算しますよね。

まぁ、あなたが(1)で計算する人ならもう何も申しません。でも、(2)で計算する人ならわかるはずです。(1)の計算を紙に書いて計算したら1日作業です。私なら5を2000個書く前に、「今何個目かいたっけ」っと忘れます。

計算を楽にするために「*」を導入。
計算を楽にするために「複素数（オイラーの公式）」を導入。

＞
OK？

お礼

御礼が遅くなり、申し訳ありません。

なるほど。やはり、式においては計算が楽になるからということですね。分かりました。ありがとうございます。

しかし、今行っている計算において、実世界では実数しか意味を持ちません。複素数を導入しても大丈夫なのかがよく分かりません。

また、よろしくお願いします。

回答No.5

ruto

直角三角形を思い浮かべてください。底辺a＋高さbはベクトル的に考えるとａ＋ｊｂになります。大きさは√a^2＋b^2になります。
　ｊは９０°位相が進んでいると考えるべきで、無理数と考えないことです。９０°位相の異なる物を加えたり、掛けたり、割ったりするときにｊが大変便利だからです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

つまり、位相差を容易に確認できるからということでしょうか。
電流・電圧には位相のズレが生じると、分かっているから複素数を
導入したということですか？？

私が疑問に思っているのは、それまでsin,cosで計算していたのに、
急に複素数を入れて計算した意味が分からないのです。（計算は飛躍的
楽になることは分かるのですが‥‥）

何か、よい考えがあれば、またよろしくお願いします。

回答No.4

noname#95070

No2です。

おそらく、あなたはまだラプラス変換を習ってないのでは？
ラプラス変換であなたはオイラーの公式（複素数）のありがたみを知ると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

まだラプラス変換を学習していません。
では、ラプラス変換を最初に学習するにあたってどのような本
から学習したらよろしいですか？（以前フーリエを学習する際、
私の高度な本を買ってしまい、やる気がなくなってしまった経験がある
のです。笑）

よろしくお願いします。

回答No.3

info22

>どなたか答えてくださる方はいらっしゃいませんか？？
複素数を使わないと、常に微分・積分方程式を解いて、電流や電圧の解析を行わないといけなくなります。そして、インダクタンスやコンデンサーを抵抗と同列に扱えなくなり、インピーダンスの概念が使えなくなり、電気現象の解析が非常に困難で厄介になります。
複素数を使うことで、コンデンサーやインダクタンスが抵抗のように扱えるようになり（インピーダンスの概念の導入）、電気回路の計算が掛け算と割り算だけでできるようになります。

抵抗だけの電気回路なら微分・積分方程式を使わない連立方程式だけで、電気回路の電流や電圧を扱う事ができます。
それと同じように連立方程式と掛け算と割り算だけで、電気回路の電圧と電流を扱えるようにしたのが、複素数の導入なのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

つまり、インピーダンスを導入するために複素数を使うということでしょうか？？
また、インピーダンスの概念とは何であるのかご教授願いますか？？
（私が今思っているのは、交流回路でコイル、コンデンサも抵抗の
ようにはたらく性質があること、と認識しております。）

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#95070

正しくは「複素数」の導入ではなく「オイラ
の公式：exp(jx)=cosx+jsinx」を導入したのです。オイラーの公式に複素数が使われていたから、複素数が使われるのです。

今でこそPCがあり、計算を瞬時にしてくれます。
しかし、手書きで計算していた時、sin/cos/arctan等が複雑に絡み合った微積分を解けますか？ってことです。回路の解析をしていたはずが、いつの間にか数学の問題を解いているに変わってしまいます。計算を楽にっというか、計算できるようにするために、オイラーの公式を使うのです。

オイラーの公式を使うので電流電圧を複素数で表します。

お礼

ご回答ありがとうございます。

つまり、《電流、電圧に単振動が現れることが分かっているので、
sinωt、cosωtを使って書く代わりに、exp(jωt）を用いる》
ということでしょうか？

また質問してしまいましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

ymmasayan

便利だから使う　これが何故不満なのですか。
根本的な答えとは何をお望みですか。

「電流」にしても実際に便利だから使っているのですが実在しませんね。
電流の正体は電子、イオン、正孔の移動のどれかですね。
「電圧」も正式には電位差で扱わないといけませんね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私が分からないのは、電流等を実在しない虚数で表す
意味が分からないという点です。（我々には観測できない
虚数を式にいれることが分からない）

私が言っていることが意味不明かもしれませんが、何か考えが
あるようでしたら、またよろしくお願いします。

ありがとうございました。