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４辺の長さが違う四角形の内角を知りたい
部屋に絨毯を敷きたいのですが、部屋の形がいびつで、４辺の長さが違う四角形です。それぞれの辺の長さは測りましたが角度が解らなくて困っています。数学で解けますでしょうか？ どなたか教えてください。
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- sanori
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たびたびすみません。 Ｎｏ．２の回答者です。３回目です。 Ｎｏ．２の回答で、 ＡＣ^2 ＝ ＡＤ^2 ＋ ＣＤ^2 － ２・ＡＤ・ＣＤ・cos∠Ｄ ＡＤ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＣＤ^2 － ２・ＡＣ・ＣＤ・cos∠ＡＣＤ ＣＤ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＡＤ^2 － ２・ＡＣ・ＡＤ・cos∠ＣＡＤ ＡＣ^2 ＝ ＡＢ^2 ＋ ＢＣ^2 － ２・ＡＢ・ＢＣ・cos∠Ｂ ＡＢ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＢＣ^2 － ２・ＡＣ・ＢＣ・cos∠ＡＣＢ ＢＣ^2 ＝ ＡＢ^2 ＋ ＡＣ^2 － ２・ＡＢ・ＡＣ・cos∠ＢＡＣ としておき、 ∠Ａ と ∠Ｃ は、 ∠Ａ ＝ ∠ＢＡＣ ＋ ∠ＣＡＤ ∠Ｃ ＝ ∠ＡＣＤ ＋ ∠ＡＣＢ で計算する旨を書きましたが、 cos や arccos は、９０°に近いほど誤差が小さくなるので、 直角より小さい２つの角度の足し算で∠Ａ、∠Ｃを求めるのではなく、 ∠Ｂや∠Ｄと同じように、一発で角度を求めるほうがよいです。 そのためには、２本目の対角線であるＢＤも測定して、やはり余弦定理を使います。 ご参考に。
- arrysthmia
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←A No.6 その点については、一度実際に、紙で角度を移して裁断し、 (恐らく、そう安くはない)絨毯を一枚、台無しにしてみれば 実感できるのではないでしょうか。 理解は、体験に根ざしていることが重要です。
- sanori
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Ｎｏ．２の回答者です。 じゅうたんは、面積が広く、そして、部屋の隅から隅まで敷くものです。 角度をダイレクトに測る方法ですと、誤差がかなり大きくなります。 辺と対角線の長さを測って、三角比で求めるほうが、誤差が、はるかに小さくなります。 たとえば、分度器で８９°と９０°を目視で見分けることは困難ですが、 三角比を使う方法ならば、メジャーで測る長さが非常に長いので、 読み取り誤差が非常に小さくなり、精密な結果が得られます。 壁伝いの線が正確に直線になっているとは限りません。 その場合も、角度を直接測るより、メジャーで測るほうが有利ですから なおさらです。 以上、ご参考になりましたら。
- arrysthmia
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その４辺の長さを、適当に縮尺して、竹ヒゴで切り出します。 四隅を粘土玉でつなげると、四角形の模型ができます。 グニグニいじって暫く遊んでいると、４辺の長さだけでは 四角形がひとつに決まらないことが、実感できます。 ゆとり以降の小学校では、図工の時間も縮小されたのでしょうか？
- yanasawa
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絨毯のために計算しますか？ 小数点以下ズラズラ出てきたってどうすればいいでしょうか？ 紙で角を写し取り、分度器で測ればo.k. 絨毯なら、その紙をそのまま当ててもいいですね。
- sanori
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こんにちは。 高校の数学で登場する「余弦定理」を使います。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86 まず、四角形ＡＢＣＤの図に、対角線ＡＣを書き加えます。 すると、２つの三角形に分割されました。 ＡＣ^2 ＝ ＡＤ^2 ＋ ＣＤ^2 － ２・ＡＤ・ＣＤ・cos∠Ｄ ＡＤ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＣＤ^2 － ２・ＡＣ・ＣＤ・cos∠ＡＣＤ ＣＤ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＡＤ^2 － ２・ＡＣ・ＡＤ・cos∠ＣＡＤ ＡＣ^2 ＝ ＡＢ^2 ＋ ＢＣ^2 － ２・ＡＢ・ＢＣ・cos∠Ｂ ＡＢ^2 ＝ ＡＣ^2 ＋ ＢＣ^2 － ２・ＡＣ・ＢＣ・cos∠ＡＣＢ ＢＣ^2 ＝ ＡＢ^2 ＋ ＡＣ^2 － ２・ＡＢ・ＡＣ・cos∠ＢＡＣ 以上の式を、全部、arccos （cosの逆関数）に書き換えます。 たとえば、１行目の式は、 ∠Ｄ ＝ arccos（ＡＤ^2 ＋ ＣＤ^2 － ＡＣ^2）／２・ＡＤ・ＣＤ となりまので、 これを関数電卓で計算すれば、∠Ｄの角度が求まります。 そして、 ∠Ａ ＝ ∠ＢＡＣ ＋ ∠ＣＡＤ ∠Ｃ ＝ ∠ＡＣＤ ＋ ∠ＡＣＢ です。 以上、ご参考になりましたら。
- info22
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それだけではデータ不足です。 ４辺の長さに加えて、対角線の１つの長さを測る必要があります。 その際、２本の対角線とどちらかを明示しないと２通りの解が出ますので 四角形ABCDで AB,BC,CD,DAの長さと AC=○ または BD=△ のどちらか（両方でもよい） の長さ（○や△） が与えられれば 四角形の４つの頂角が余弦第２定理を使って求められます。、
