２つの関係式から求められる値

質問

２つの関係式
y1=150.07x-0.7893　　　（１）
y2=-11.686x+1.543　　　（２）
があります。
この２式は一定間隔ｘ（ｘ＝１、２、３…）とそれに対応するｙ１、ｙ２との関係から求められた近似式です。
（つまりグラフを作成した時には同一直線（法線）上に（１）と（２）の値があるということになります）

ここでｙ１=210.3、ｙ２=87.4と値がわかっている時に、その時に対応するｘを求めるにはどうしたらよいのでしょうか？
（１）と（２）に代入して求めたそれぞれのｘは異なっており、どういった方法で最適なｘを求められるのかが分かりません。

傾きなどから比を使うのか、それともこの方法では求められないのか見当がつかないので教えてください。

回答No.2

jaspachate

以前のご質問も含めて拝見しました。校正直線として、
<ｘ方向への荷重>
ｘ方向：y1=150.07w-0.7843
z方向：y2=-11.686w+1.543 （ｗはおもりの重さ[kg]×ｇ[m/s^2]）
<ｚ方向への荷重>
ｘ方向：y3=1.4663w-0.3889
z方向：y4=473.45w-12.948

をお求めになり、実際に風洞で揚力Lv(z方向)と抗力Dv(x方向)の電圧値を同時に観測したとき、荷重に変換したい、というご質問ですね？
ひずみゲージ式2分力天秤がどのようなものか詳しく知りませんが、互いに垂直な２方向の分力を同時に測定するものという理解で良いですね？

そうなのであれば、校正でｘ方向への荷重に対し、ｚ方向への電圧も観測されるのは当然で、それには０荷重時の暗電流のふらつきによるものもありますが、荷重が完全にはｘ方向に一致しないことによるものもあります。
そこで問題になるのは、校正測定において、ｘ方向の荷重に対するｚ方向の測定値、およびｚ方向の荷重に対するｘ方向の測定値がそれぞれ一定とみなせるのに無理に直線に当てはめたのか、それとも明らかな直線応答があるのかどうか、ということです。校正荷重が明らかにｘ方向またはｚ方向からずれていれば、それ相応の分力が垂直な方向に観測されるでしょう。そうでない場合は傾いた直線ではなく、荷重に対してほぼ一定の（ある程度ばらつきのある）値が見られるでしょう。

校正直線を見ると　y2=-11.686w+1.543　は　y1に比べても10%近い傾きがありますので、荷重自体にｘ方向からのずれがあるのではないかと疑います。一方　y3=1.4663w-0.3889　の方はy4に比べ0.2%程度の傾きなので荷重のz方向からのずれはほとんどないものと考えられます。

荷重の方向の水平からのずれをθ（上が正）とすれば、測定電圧と荷重の関係は次のようになります。
Vx = αWcosθ + Vx0 : x方向
Vz = βWsinθ + Vz0 : z方向
Wは荷重で、α、βはひずみ計の変換スケール、Vx0,Vz0はそれぞれひずみ計の０オフセットです。
測定された校正直線だけからはα、βを求めるのは困難ですが、z方向の測定がほぼ垂直であるとみなせば、sinθ=1とみなして、β=473.45とおけます。x方向の校正からは、
αcosθ=150.07、βsinθ=-11.686
なので、β=473.45を用いて sinθ=-11.686/473.45、これらから
α=150.07/sqrt(1-(-11.686/473.45)^2) = 150.16
と求まります。違いは恐らくその他の誤差より小さいですね。

以上から風洞実験で得られた電圧を荷重分力に変換するには、
Vx = 150.16Wx + Vx0 : x方向 (Vx0=-0.7843)
Vz = 473.45Wz + Vz0 : z方向 (Vz0=-12.948)
を用いればよく、これに例として挙げられた、210.3、87.4　をそれぞれVx、Vzに代入して　Wx、Wz　を求めます。

以上でご質問の趣旨にはお答えしたと思います。要旨はｘ、ｚ方向の校正がそれぞれ独立に行われたので、そのとき観測された別方向(求める方向に垂直な)の成分は荷重方向が正しかったかどうかの点検に使われるだけで、じっさいに実測定の変換に用いるのはｘ方向校正時のｘ方向直線と、ｚ方向校正時のｚ方向直線です　（ｘ方向校正時のｘ、ｚ方向直線を両方使ってはいけません）。

校正直線の傾きと０オフセットも実は測定誤差を含んでいます。それを実測定に反映させる校正直線の精度、具体的には校正直線上の校正測定点のばらつき（直線からのずれ）の程度を知っていなければなりません。そうしてはじめて上記のα、β、Vx0、Vz0　それぞれに誤差がつき、電圧から荷重への変換時にその誤差を伝播させて荷重の誤差を求めることができます。

回答No.1

info22

>（つまりグラフを作成した時には同一直線（法線）上に（１）と（２）の値があるということになります）
この表現が意味がよく分かりません。

> どういった方法で最適なｘを求められるのかが分かりません。
何を持って最適というのですか？
最適の条件を補足して下さい。

y1=y2となるyやxでもって最適とするなら、
(1),(2)式で、y1=y2=yとおいて連立方程式を解けば良いだけです。
そうすれば
x=0.014419,y1=y2=1.3745
(近似式の係数の有効桁数にあわせて、有効桁数の6桁目を四捨五入して
求めた解です。)

補足

分かりにくい説明ですみません。
実はこの質問は https://okauth.okwave.jp/qa4479834.html
をもとにしたものです。
y1、y2は独立したものでありますが、ｘについては関係式２式にリンクしたものであってほしいと考えています。
ですので(1)、(2)で求めたｘをそれぞれx1、x2とした時に関係式の重要度（おもみ？）によって算出される実際の解ｘを求めたいということです。

↑（書いていて分からなくなったので）
リンク先の質問文で言うところの『測定値LvとDvから関係式を用いて実際の抗力を求めたい』ということ。実際の抗力を求める際に揚力電圧値Lvの誤差を考慮しなければならないと考えているので。