y=ax+bと平行な直線の求め方は？

質問

y=ax+b　と平行な直線の求め方って、何か公式あるんでしょうか？
例えば、　ｙ＝２ｘ+1　からの距離が3である２つの直線を一発で求めるような方法ありますか？
傾き2は共通ですよね。
じゃあ、切片は？
私いつも、ｙ＝２ｘ+ｃとかとおいてみて、この直線が通る座標を探して代入してるんですが、（ない場合は、直行する直線を求めたりして、強引に導いてます）なんか遠回りしてる気がしてなりません。
どうか、よろしくお願いします。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

特に公式と言うのはありませんが簡単に作れますよ。
傾きについてはおわかりのようですから、切片についてのみ書いておきます。
（ご自分で図を書いて確認して下さい）

直線y = ax+bを直線sと呼ぶことにします。
y軸とsのなす角度（の小さい方）をθとします。
sの切片(0,b)をＢとします。Ｂからsに垂直な直線を引きます。
（上側でも下側でも構いません）
その直線のＢからの長さがdになるような点をＰとします。
Ｐを通る傾きaの直線をs'とすると、これが元の直線sと平行でかつ距離ｄだけはなれた直線ですね。

s'がy軸と交わる点(切片）をＢ'とします。
Ｂ'におけるy軸とs'のなす角度（の小さい方）は（sとs'が並行だから）θですね。
ＢとＢ'の距離をtとします。すると容易におわかりのように
t sinθ＝d となります
またsin θ＝1/ sqrt( a^2 + 1 )ですね。（sqrt(…)は括弧の中の式全体の平方根です）
したがって
t = d・sqrt( a^2 + 1 )
そこで
Ｂのy座標（つまりs'の切片）は
b ± t ＝ b ± d・sqrt( a^2 + 1 )
となります。

お礼

ありがとうございます。
説明不足でしたが、土地家屋調査士という資格試験でこのパターンの問題が多くて、簡単な解き方を考えてたので質問しました。
それで、すいません。
方向角θは関数電卓が仕様可なのです。

で。
それらを、総合すると、
ｙ＝ax+(b±ｌ/sinθ ）
となるわけですね。
これであってますよね。

回答No.3

oodaiko

>ｙ＝ax+(b±ｌ/sinθ ）
>となるわけですね。
>これであってますよね。
距離が１ならこれでOKですが、一般の距離dについて求めるなら
ｙ＝ax+(b±d/sinθ ）
です。

お礼

ありがとうございました。
ちなみに、書いたのは1ではなくて、l（エル）でした。
わかりづらかったですね。

回答No.2

noname#7269

ｘ・ｙ軸に平行な直線の場合は図でも書けば大丈夫だと思いますので、要求通りｙ＝ａx＋ｂでします。

考え方としては、元の直線上の点（０、ｂ）とｙ＝ａx＋ｂと平行でｙ切片がｄの直線、ｙ＝ａｘ＋ｄの距離がｌとして式を作ります。
点と直線との距離の公式を使って
ｌ－ｂ＋ｄｌ／√a＾２＋１＝ｌ
整理すれば
ｄ＝ｂ＋－ｌ√ａ＾２＋１となるので
一発で求める方法は
ｙ＝ａｘ＋ｂ＋－ｌ√ａ＾２＋１
となります
＋－はプラス・マイナスの意味です。
私は公式化せず考え方を（点と直線との距離）から求める
方法を覚えておいたほうがいいと思います。
数学を教えている立場のものですが、あまり公式などを覚えるよりは作りかたの根本的な部分を覚えて（理解していないと）応用力がつかないですよ。
応用力は何をするのにも（生活をするのにも）役に立ちますから・・・・

お礼

ありがとうございます。
説明不足でしたが、土地家屋調査士という資格試験でこのパターンの問題が多くて、簡単な解き方を考えてたので質問しました。
それで、すいません。
方向角θは関数電卓が仕様可なのです。

で。
それらを、総合すると、
ｙ＝ax+(b±ｌ/sinθ ）
となるわけですね。
これであってますよね。