一次式とグラフについての質問

質問

質問1:Y＝2x-4において、点（2、-4）を数式で表すとどうなるのでしょうか？僕の仮定では、-4＝2×2-4なのです。
このように、点（2、-4）をYやxに代入したりしていいのでしょうか？

質問2:点（2、-4）を数式で表すことはできるのでしょうか？表せるならどのようになるのでしょうか？

質問3:Y＝2x-4において、点（2、-４）はどのような意味をもつのでしょうか？具体例を挙げて説明してくだされば幸いです。

質問4:そもそも、点（2、４）などの座標は一体なんの意味があって使われるのでしょうか？

質問4:Y＝2x-4の直線を引くために、Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値の2点を数値として出しますが、何故このような方法で直線を引くのでしょうか？ほかの方法で直線を引いたりはできないのでしょうか？

質問5:Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値の2点を数値として出
せば、どんな数式においても、2点さえ結べば、正しい直線を引くことができるのでしょうか？

回答No.3

proto

一個答え忘れてた。

＞質問4:そもそも、点（2、４）などの座標は一体なんの意味があって使われるのでしょうか？

座標を用いることで、点の場所を数字ふたつで表現できて便利だからです。

平面にある点があって、その場所を人に教えたいとき、座標を使わないとどうなりますか？
掲示板ならx-y平面に点を打った画像を貼り付けて見てもらわないといけないし、電話なら今からファックス送るからーと言ってグラフを描いた紙をファックスしなければなりません。
そんなのよりも、座標を使って「点(1,3)」と書いたり「x座標が1,y座標が3」と言う方が早いのです。
座標とは数字で点の場所を示す一つの方法です。

また、逆の見方も出来ます。
座標を考えなければ、(1,3)と書いてもただ1と3でしかありません。ただそれだけです。
しかし、x-y平面を考えて(1,3)を座標と見ると、(1,3)はx座標が1でy座標が3の点を表していると考えることが出来ます。
このように、ただの1と3ではなくて、それはある場所の点なんだ、という風に別の見方をすることである事柄が分かりやすくなったり別の発見があったりします。
座標というのは二つの数字の組を、ある場所の点として見るための道具です。

直線y=2x-4という言い方にしてもおなじです。
ただ、「y=2x-4」と書かれただけでは、これはただの式です。ただの式として変形することも出来ますが、とりあえずはそれだけです。
しかし、x-y平面というものを考え、y=2x-4という式を満たす点の座標をプロットしていくと、それがある直線になっていることが分かります。
つまり、座標という考え方を用いることで初めて、ただの式だったy=2x-4が平面上の直線を表している！ということがわかるのです。
ただの式よりも具体的な直線として見た方がイメージもしやすいし、線と線が交わる点とか、線と線が平行だとかそういう事柄が考えやすいとおもいませんか？
このように、座標という考えを用いることで「ただの一次式」と「平面上の直線」が対応しているんだと考えられます。

これらが座標というものを使う意味なのです。
座標やグラフがなければ数学はもっともっとイメージしにくい難しい学問になるでしょう。

回答No.2

proto

「:Y＝2x-4において、点（2、-4）を数式で表す」この言葉の意味がすでによくわかりません。
あなた自身意味がわかって使っていますか？

＞点（2、-4）をYやxに代入したりしていいのでしょうか？
いいですよ。代入してみること自体は自由です。
実際、代入してみると、
　　(左辺) = -4
　　(右辺) = 2*2-4 = 0
よって(左辺)≠(右辺)なので、点(2,-4)は直線y=2x-4上の点ではないということがわかります。

他に、(1,-2)を代入してみると、
　　(左辺) = -2
　　(右辺) = 2*1-4 = -2
よって(左辺)=(右辺)なので、点(1,-2)は直線y=2x-4上の点だということがわかります。

このようにある点の座標を直線の式に代入してみて左辺と右辺を比べることで、ある点がその直線上にあるのか無いのか判別することができます。

＞質問2:点（2、-4）を数式で表すことはできるのでしょうか？表せるならどのようになるのでしょうか？
あえて数式っぽく書くとしたら、
　　x=2,y=-4
です。
これは、この点はx座標が2でy座標が-4だよ、というのを数式で書いたものです。

また、x=2はx軸に垂直な直線の式であり、y=-4はy軸に垂直な直線の式です。
これら二つの直線が交わる点が(2,-4)だよと言う意味にも解釈することができます。

＞質問3:Y＝2x-4において、点（2、-４）はどのような意味をもつのでしょうか？具体例を挙げて説明してくだされば幸いです。
あまり意味はないんじゃないかなと思います。
もっと言えば、直線y=2x-4と点(2,-4)には何の関係性もありません。
なので、直線y=2x-4と点(2,-4)を合わせて考えても特に意味はないと思います。

＞質問4:Y＝2x-4の直線を引くために、Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値の2点を数値として出しますが、何故このような方法で直線を引くのでしょうか？
＞ほかの方法で直線を引いたりはできないのでしょうか？
直線は、その直線が通るどこかの点が最低2点わかっていれば正確に引くことが出来ます。
2点でなくても構いません、3点でも4点でも100点でも、その直線が通る点がわかっていれば引けます。まぁ、2点わかっていれば充分ではありますが。

なので、別に『Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値』でなくても構いません。
これ以外の点でも、とにかくその直線が通る点が2点わかっていれば直線は引けます。

例えば、y=2x-4は点(1,-2)と点(10,16)を通ります。
なので、x-y座標に点(1,-2)をプロットして、点(10,16)をプロットして、その2点を通る直線を引けば、それでy=2x-4が描けた事になります。
その他、点(0,-4)と点(0.5,-3)や、点(-1,-6)と点(3,2)などを通る線を直線を引くことでも、直線y=2x-4は描けます。
このように直線y=2x-4を引く方法はいくらでもあります。

＞質問5:Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値の2点を数値として出
＞せば、どんな数式においても、2点さえ結べば、正しい直線を引くことができるのでしょうか？
基本的にはその通りです。
y=ax+bという形で表される直線ならば全て、Yが０の時のxの値と、xが０の時のYの値を出すことで直線が引けます。
もちろん、さきほども書いたようにそれ以外の2点でも良くて、とにかく直線が通る点が2点わかっていれば、その2点を結ぶことで正しく直線を引くことが出来ます。

ただ例外は、x=aの形で表されるx軸に垂直な直線と、y=bの形で表されるy軸に垂直な直線です。
x=aの形の直線はy軸と交わらないことがあるし、y=bの形の直線はx軸と交わらないことがあるので、『xが０の時のYの値』や『Yが０の時のxの値』が無かったりします。
しかしこの場合でも、それ以外にどこでもその直線が通る適当な2点を結べば問題なく直線を引くことは出来るので、そこまで例外扱いする必要もないかも知れません。

回答No.1

Ichitsubo

回答１
y=2x-4のグラフ上の点であれば可能です。
というか、グラフというのは代入しても式が成り立つ点を全てプロットしたものです。
(2,-4)はy=2x-4を満たしません。
x=2を代入してもy=-4となりませんから。

回答２
質問が意味不明です。

回答３
(2,-4)という点は、グラフy=2x-4の上には無い、というだけです。

回答４
座標の場所を示しているだけです。

回答４’・５
適当に取った２つの点を通る直線はただ一つしか存在しません。
ですのでとにかく２つの点を指定さえすれば、誰しも同じ直線を引くことができます。
正しい直線をかけるかどうかは、その直線のグラフの式を満たす２点を指定したときです。