対数の教え方

質問

対数を知らない人に説明するのに苦労してます。
2次関数や三角関数はなんとなく理解できても、
対数関数がわからない、という人が多いように思います。
高校の数IIで習ったのに、実感がわかないようです。
何かいい説明方法はないものでしょうか。

回答No.6

sanori · ベストアンサー

Ｎｏ．１の回答者です。再びお邪魔します。

対数目盛りの例を挙げてみます。

１．
だいたいの掛け算・割り算ができる計算尺は、対数目盛りを応用しています。
http://www.pro.or.jp/~fuji/profile/sliderule2.html

２．
利率が一定の定期預金の預金残高は、預ける年数の指数関数です。
ですから、片対数目盛りで横軸が年数、縦軸が残高のグラフを描くと、右肩上がりの直線になります。

単一の放射性物質の放射能の減衰は、時間の指数関数です。
これは、片対数で右下がりの直線になります。
種々の工業製品の故障数も、おおむね同じ話になる場合があるので、応用されています。

同様の例は、たくさんあります。

３．
ケプラーの第３法則は
公転周期の２乗　＝　定数　×　軌道径の３乗
ですけど、両辺それぞれの対数を取れば、
２log公転周期　＝　log定数　＋　３log軌道径
となりますから、両対数グラフにすれば直線になります。

４．
ギターのフレットは、対数目盛りになっています。
弦の長さが２分の１になるフレットを押さえると２倍音（１オクターブ上の音）が出ます。
１倍音と２倍音の間を、対数的に等間隔に１２分の１ずつに区切っているのがフレットです。
見た目は不等間隔ですが、対数を取れば等間隔です。
逆に、ピアノを弾いて鳴る音の周波数は、鍵盤の数の指数関数になっています。半音で１２個上がるごとに、周波数が２倍、４倍、８倍・・・になっていきます。（同じ音名でオクターブ違い）

以上のことから、対数目盛りというものの意味・本質を汲んでいただければ幸いです。

ご参考になりましたら。

お礼

おお、計算尺ですか！！　なつかしい。。。
今では見かけなくなりましたが、
対数グラフ用紙を使って自作してみることにします。
ありがとうございました。

回答No.5

ORUKA1951

＞ときどき若い人から、対数目盛の意味について

　なら、対数目盛りではなく対数的考え方を説明すると良いです。
　私は次のように説明しています。

　ある国の人口が100人増えました。という場合
　日本国の人口は1億3千万人、バチカン市国は900人とすると
　これを同列に比較するわけにはいかないですね。
　ところが対数で考えると、
　日本) 8.1139436863-8.1139433523=0.000000334
　バチカン市国) 3.9590-2.9542=1.0048

　前年の売上高と今年度の売上高を比較するとき、差で比較しても正確なところはわからない。ところが、対数目盛りを使うと、正確なイメージが掴める。

お礼

どうもありがとうございます。
>前年の売上高と今年度の売上高を比較するとき
そうなのです。同じ１００万円でも個人商店と大企業では
価値が違う。そのことから出発して考えていくと、
最終的に対数の考えにたどりつく、というストーリーを考えてみます。
これまでのやり方が、いささか天下り的に過ぎたと
反省しています。

回答No.4

Ishiwara

＃３です。
特に「対数目盛り」に関心があるのですね。
対数目盛りとは、線の長さが一定量（例えば１cm）進むごとに、その示す値が百円・千円・１万円・十万円‥‥のように一定比率で増大する目盛りのこです（金額の対数が長さになっています）。
実用的には、百円・千円‥では急激すぎるので、１cmごとに20％増しとか、その程度の目盛りを使った方眼紙が市販されています。
x、yともに対数目盛りのものは「両対数」といい、科学技術用です。xがふつうの目盛りでｙが対数目盛りになっているものは「片対数」といって、会社の業績の推移とか、社会的な統計などに使います。
例えば、ある町の人口が毎年一定割合で増える（または減る）と、片対数グラフでは直線となります。

お礼

ありがとうございます。なるほど
一定の比率で増加（減少）するという関係を
グラフ上の直線で把握することができる、
この点を強調すれば、よさそうですね。
ありがとうございました。

回答No.3

Ishiwara

よい方法があります。
100の対数は２です。
1000の対数は３です。
10000の対数は４です。
つまり、対数は「0」がいくつあるか、という数なのです。
ですから、1000×10000を計算するときは、その代わりに３と４を足します。
つまり、対数は「掛け算を足し算で済ませる」ことを目的として考案されたのです。
では、複雑な計算を必要としていた職業はだれ？
（答は「船乗り」ですよ）
---ここまでは、小学生でも分かる---
---相手から質問が出なければ、ここで終わりにする---
質問者「それじゃ500の対数はいくつなの？」
「エッ！2.5じゃないの？」
---ここからは、あなたの腕しだい---

お礼

ありがとうございます。
今度、だれかから質問されたら、そういうような例で
説明してみます。具体的な例をありがとうございました。

回答No.2

ORUKA1951

なにを説明されようとしているのですか？
対数という考え方ですか？
それとも、対数を使った関数？

　誰を対象に、なにを説明したいのですか？

＞高校の数IIで習ったのに、実感がわかないようです。
＞何かいい説明方法はないものでしょうか。
　って、
「（誰が）高校の数学で習ったのに、」・・・・此方はご自身のことのように
「(誰が)実感がわかないようです。」・・・此方は「ひとごと」っぽいし。
「何かいい説明方法」・・・・ご自信が説明して欲しい用でもあるし・・・

補足

すみません。対数というものの考え方のほうです。
経営指標を分析するときに対数グラフ用紙を使うことがあり、
ときどき若い人から、対数目盛の意味について
質問をされることがございまして、
その都度、教科書的に説明してきました。
もっと直感的にわかりよい方法をご存知の方が
いらっしゃるのでは、と思いまして
質問させていただきました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

ぱっと思いつくのは、

対数関数は指数関数の逆関数です。
だから、指数関数のグラフのＸ軸とＹ軸を入れ替えると対数関数のグラフになります。
薄い紙に書いた指数関数のグラフを裏から見れば、対数関数のグラフが見えます。

という説明ですね。

お礼

ありがとうございました。

今度だれかが対数のことを質問してきたら、
透明フィルムに指数関数のグラフを書いて、
裏返してみせることをやってみます。