双曲腺と対数の関係

質問

円の方程式とπの関係について、いくつもありがたいご教示をいただきましたが，私の頭の中ではほとんど同じ疑問としてタイトルの関係があります。どこか三角関数が関係しているようにも思うのですが、対数というのは別の起原があるようですが、双曲線との関係で対数が現れてくる発生の現場をご説明いただけるとありがたいのですが・・・

回答No.6

leige · ベストアンサー

自分で回答を読み返していて、ピントがずれていたようなので
書き直してみました。
何度も要領を得ない回答をして、たいへん申し訳ありません。

y=1/xの積分を微小区間で考えたとき
S(x)=∫[x,x+Δh](1/t)dt=Δh/x
S(ax)=∫[ax,ax+Δh](1/t)dt=Δh/(ax)
というふうに、xの値がa倍されるとその積分値が1/a倍になるので
積分範囲をa倍すれば積分の値が等しくなります。

このことが、s=txと変数変換したとき
xの値はa倍したがって被積分関数の値は1/a倍で、
またds=adxの関係から各微小区間の幅がa倍となって
積分値が等しくなることを示しています。

この性質から
∫[1,a](1/x)dx=∫[a,a^2](1/x)dx=∫[a^2,a^3](1/x)dx=…
さらに
∫[1,a^n](1/x)dx=n∫[1,a](1/x)dx
1/xをx=aまで積分したものがn倍になるには
x=a^nまでとxをn乗した値まで積分に等しくなります。
いいかえると、f(x)=∫[1,x](1/t)dtは
xをn乗するとf(x)がn倍になる関数になっているということです。

お礼

逆数というのもすごく奥が深いものなのでしょうね。さらに積分が入らないと完結しないストーリーがあるということですね。ご丁寧にありがとうございました。

回答No.5

leige

f(x)=∫[1,x](1/x)dxとするとき
I=∫[1,y](1/t)dtでt=u/x(u=xt)とおくと
I=∫[x,xy](x/u)(1/x)du=∫[x,xy](1/t)dt

これをつかうと
f(x)+f(y)=∫[1,x](1/t)dt+∫[1,y](1/t)dt
=∫[1,x](1/t)dt+∫[x,xy](1/t)dt
=∫[1,xy](1/t)dt
=f(xy)

このことから
y=1/xを積分したものが
f(x)+f(y)=f(xy)
という対数の性質をみたしていることがわかるとおもいます。

お礼

ご教示有難うございます。勉強させてください。

回答No.4

leige

対数は、ある数をa倍したときその対数がb倍になって
同じ数をa^2倍したときその対数が2b倍になるという性質をもつと考えると
f(ax)=f(a)+f(x)
という関係をみたす。

このときa>0にたいして
lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h
=lim[h→0]{f(a(1+h/a))-f(a)}/h
=lim[h→0]{f(a)+f(1+h/a)-f(a)}/h
=lim[h→0]f(1+h/a)/h
=(1/a)lim[h→0]af(1+h/a)/h
=(1/a)lim[h→0]f((1+h/a)^(a/h))
=(1/a)lim[h→0]f((1+h)^(1/h))

ここでf(x)が(0,+∞)で連続で
lim[h→0](1+h)^(1/h)がある正の数cになれば
f(x)のx=aでの微分係数がc/aになることがわかる。

厳密でない点もあると思いますが、上ようにの対数の性質から
その微分のグラフと双曲線の間に関係があることがわかると思います。

お礼

ご教示有難うございます。勉強させていただきたいと思います。

回答No.3

leige

対数関数y=logxは指数関数y=e^xの逆関数で定義されますが
指数関数y=e^xのx=aでの接線はy=e^a(x-a)+e^aとあらわされます。

x=aでのy=e^xの接線y=e^a(x-a)+e^aの逆関数はy=(1/e^a)(x-e^a)

このことから、x=e^aでの対数関数y=logxの傾き(微分)は1/e^a
すなわち、x対数関数y=logxの傾き(微分)は1/xであることがわかります。

したがってy=1/xを積分すればy=logxがでてきます。

お礼

指数関数を一旦経由しないと出てこないということになるのでしょうか。ご教示をありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

双曲線関数
cosh t = (e^t + e^(-t))/2
sinh t = (e^t - e^(-t))/2

お礼

どうもありがとうございます。双曲線関数という言葉の起原と関係があることなのでしょうか。

回答No.1

springside

双曲線と三角関数との関係について言えば、以下のようなのがありますね。

双曲線x^2-y^2=1を変形すると、1+y^2=x^2となります。これと、三角関数の公式1+tan^2(θ)=1/cos^2(θ)とを比較すると、x=1/cos(θ)、y=tan(θ)となって、双曲線と三角関数の橋渡しができました。

双曲線と対数の関係については全く思いつかないのですが、質問者さんがなぜそのようなことを思いついたのか、理由やきっかけ等を説明して頂ければ何か出てくるかも知れません。

補足

円の方程式の場合と似ていると思うのは双曲線のグラフのある区間を積分すると対数が出てくると思いますが，素朴な意味でそのことが不思議に思えるということです。