ゼミでリー代数を勉強しているのですが

質問

ゼミでリー代数を勉強しているのですが
教科書が省略され過ぎててよく理解できません。

sl2のキリング形式Bについて

sl2の基底
x=(0 1 ; 0 0) y=(0 0 ; 1 0) h=(1 0 ; 0 -1)
に対して
adx=(0 -2 0 ; 0 0 1 ; 0 0 0)
ady=(0 0 0 ; -1 0 0 ; 0 2 0)
adh=(2 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 -2)
となるので
B=(0 0 4 ; 0 8 0 ; 4 0 0)
で与えられる

まずadx, ady, adzがなぜこうなるのかわかりません。
Bはもっと分かりません。

どなたか詳しい方よろしくお願いします。
かなり急いでいます。
初学者なもので、すみません😭

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

X=(0,1;0,0),H=(1,0;0,-1),Y=(0,0;1,0)
xX+hH+yY=(x;h;y)
adx=(a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33)
とすると
(a11;a21;a31)=adx(1;0;0)=adx(X)=XX-XX=(0;0;0)
(a12;a22;a32)=adx(0;1;0)=adx(H)=XH-HX=(0,1;0,0)(1,0;0,-1)-(1,0;0,-1)(0,1;0,0)=-X-X=-2X=(-2;0;0)
(a13;a23;a33)=adx(0;0;1)=adx(Y)=XY-YX=(0,1;0,0)(0,0;1,0)-(0,0;1,0)(0,1;0,0)=(1,0;0,0)-(0,0;0,1)=H=(0;1;0)
∴adx=(0,-2,0;0,0,1;0,0,0)
adh=(b11,b12,b13;b21,b22,b23;b31,b32,b33)
とすると
(b11;b21;b31)=adh(1;0;0)=adh(X)=HX-XH=-adx(H)=2X=(2;0;0)
(b12;b22;b32)=adh(0;1;0)=adh(H)=HH-HH=0
(b13;b23;b33)=adh(0;0;1)=adh(Y)=HY-YH=(1,0;0,-1)(0,0;1,0)-(0,0;1,0)(1,0;0,-1)=-Y-Y=-2Y=(0;0;-2)
∴adh=(2,0,0;0,0,0;0,0,-2)
ady=(c11,c12,c13;c21,c22,c23;c31,c32,c33)
とすると
(c11;c21;c31)=adh(1;0;0)=ady(X)=YX-XY=-adx(Y)=-H=(0;-1;0)
(c12;c22;c32)=adh(0;1;0)=ady(H)=YH-HY=-adh(Y)=2Y=(0;0;2)
(c13;c23;c33)=adh(0;0;1)=ady(Y)=YY-YY=0
∴ady=(0,0,0;-1,0,0;0,2,0)

B(x,x)=Tr((adx)^2)=Tr((0,-2,0;0,0,1;0,0,0)^2)=0
B(x,h)=Tr(adx*adh)=Tr((0,-2,0;0,0,1;0,0,0)(2,0,0;0,0,0;0,0,-2))=0
B(x,y)=Tr(adx*ady)=Tr((0,-2,0;0,0,1;0,0,0)(0,0,0;-1,0,0;0,2,0))=(-1)(-2)+2=4
B(h,x)=Tr(adh*adx)=Tr((2,0,0;0,0,0;0,0,-2)(0,-2,0;0,0,1;0,0,0))=0
B(h,h)=Tr((adh)^2)=Tr((2,0,0;0,0,0;0,0,-2)^2)=2*2+2*2=8
B(h,y)=Tr(adh*ady)=Tr((2,0,0;0,0,0;0,0,-2)(0,0,0;-1,0,0;0,2,0))=0
B(y,x)=Tr(ady*adx)=Tr((0,0,0;-1,0,0;0,2,0)(0,-2,0;0,0,1;0,0,0))=2+2=4
B(y,h)=Tr(ady*adh)=Tr((0,0,0;-1,0,0;0,2,0)(2,0,0;0,0,0;0,0,-2))=0
B(y,y)=Tr((ady)^2)=Tr((0,0,0;-1,0,0;0,2,0)^2)=0
だから
∴B=(0,0,4;0,8,0;4,0,0)

お礼

ありがとうございます。
とても助かりました?️