2階微分方程式の三角関数、3次関数の解き方について

質問

y''=Asin(y)+Bcos(y)　　　　式(1)
y''=ay^3+by^2+cy　　　　　式(2)

上記の式の解き方がわからなくて困っています。
ここでy''はd^2 y/dx^2(yの2階微分)、A,B,a,b,cは定数です。

式(1)がわからなかったので、三角関数をテイラー展開して、
簡単に3次関数までで解こうと式(2)を作りましたが、結局わかりませんでした。

y=e^(λx)

と置いて代入する方法では、λが出てこないので簡単に求まらないようです。

あまり数学の知識がないので、順を追って教えて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

先日、別の人の質問に「y' を掛ける」回答をしてみたが、
そのときの評価は低かったようだ。↓
http://okwave.jp/qa/q8123507.html
の A No.5。

今回の方程式 (1) を (2) と近似することの是非もあるが、
それはさておき、(2) を前述の方法で処理すると、
x = ∫ 1/√(yの4次式) dy となって、y は楕円関数である
ことが判る。

√(3次式) または √(4次式) を被積分関数に含む積分と
楕円関数の関係については、↓などを参照されたい。
http://www.amazon.co.jp/%E6%A5%95%E5%86%86%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E6%97%A5%E8%A9%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-%E6%88%B8%E7%94%B0-%E7%9B%9B%E5%92%8C/dp/4535601283
これは名著だと思う。

お礼

ありがとうございました。

この解法で式(1)でも1階微分方程式の形に持っていけました。
その後の積分で躓きましたが、今回は時間がなかったため、エクセルを使って面積を足し合わせました。
時間のある時にまたじっくり勉強したいと思います。

回答No.1

Tacosan

物理の方では y' をかけてみる.