微分方程式が解けません

質問

D（D^2＋k^2）x=0

なんですが
疑問点
1まず右辺が0である場合どうするのか
2（D+3)（D-2）の形であれば
右辺が級数か指数か三角関数の場合によってやり方はことなるが、できるのですが、この場合は？？

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

DF=0ならF=c （定数）を意味します。

(D^2+k^2)x=c　 (cはゼロでないとします）
(D+ik)(D-ik)x=c

ｃがゼロでないなら(D+ik)(D-ik)≠0ですから、演算子の割り算をして

x
=(D-ik)^{-1}(D+ik)^{-1}c

と書けます。以下に解法を簡単にかきます。

=(D-ik)^{-1}(D+ik)^{-1}e^{-ikt}e^{+ikt}c

=(D-ik)^{-1}e^{-ikt}D^{-1}e^{ikt}c

=(D-ik)^{-1}e^{-ikt}(e^{ikt}-a)(1/ik)c

=(D-ik}^{-1}(1-ae^{-ikt})(c/ik)
=e^{ikt}D^{-1} e^{-ikt}(1-e^{-ikt})(c/k)

=e^{ikt}D^{-1}(e^{-ikt}-ae^{-2ikt})(c/k)

=e^{ik}(e^{-ikt}-b-(a/2)e^{-2ik})c/(k^2)

=(1-Ae^{-ikt}+Be^{+ikt})c/k^2

答えはこれであっているでしょうか？チェックしてください。任意定数A、Bを二つ計算過程で導入しました。

回答No.2

endlessriver

参考として
教科書によると微分演算子を使った解法は
{(D-α)^n}y=0の一般解はy=(c1+c2x+..+cnx^(n-1))e^(αx)
{(D^2+aD+b)^m}y=0の一般解は
y=(b1+b2x+..+bmx^(m-1))e^(λx)cos(μx)
+(c1+c2x+..+cmx^(m-1))e^(λx)sin(μx)
ここでa^2-4b<0で特性方程式t^2+at+b=0の根をλ+iμとλ-iμとする。
とのことです。今回のように、これらの演算子が重複した場合の微分方程式の一般解はこれらの一般解の和になる。

証明は長いので解析学などの本を参照して下さい。

あとf(D)y=g(x)の微分方程式は特殊解をy0とすればyをy+y0とおいて結局f(D)y=0の一般解を求める問題になります。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/differential-eq/diff-eq10305.htm