二次関数の最小値を求める問題

質問

二次関数f(x)＝ax²＋bx＋a(a²＋3)は、x＝1-aのとき最大値cを持つ。
このときcの最小値を求めなさい。

という問題で、c＝-9-b²

このような答えがでましたが、解答が確認できず、自信もないため質問させて頂きました。

間違っていた場合は、解答方法も教えて頂けると助かります。

回答No.3

alice_44

さて、質問氏の答え
(値ではなく、一揃いの答え)は？

回答No.2

Mr_Holland

ｃの最小値は　-1/2 になると思います。

　2次関数f(x)を平方完成の形にすると
　　f(x)=a{x+b/(2a)}²+a(a/(a²＋3)-b²/(4a)
となります。
　ここでf(x)は最大値をもつので　上に凸ですから　a<0　　　・・・・・(1)
　またf(x)が最大となるのは　x=-b/(2a)　のときですから
　　-b/(2a)=1-a　　∴b=2a(a-1)　　　・・・・・・・・・・・・・・・(2)
　この最大値は　c ですから
　　f(1-a)
=a(1-a)²+b(1-a)+a(a²+3)
=a(1-a)²-2a(1-a)²+a(a²+3)　　　　←式(2)を代入
=2a²+2a =c
　∴c=2a²+2a

　ここで更にｃを平方完成の形にすると
　　c=2(a+1/2)²-1/2 a<0
となりますので、a<0 の範囲でcが最小となるのは　a=-1/2 のときですから
　　(cの最小値)= -1/2　　（a=-1/2, b=3/2 のとき）
と求められます。

回答No.1

alice_44

アドバイスを期待するなら、
結果の値だけでなく、計算過程を含む貴方の答えを書きましょう。
単なる模範解答なら、ここで募集しなくても、
問題集に書いてあるでしょう？