指数関数の微分、極限

質問

指数関数の微分、極限

答えがないので、答え合わせをしていただきたいです。

x/e^x　-1の微分です。

第一次微分→e^x　-1　-　xe^x　/　(e^x　-1)^2
第二次微分→xe^3x　-　(x+2)e^x　+　4e^2x　-　2e^3x　/　(e^x　-1)^4

大変見にくくて申し訳ありません！
そして、それぞれの極限値（x→0）はどちらも0になりました。

極限値はロピタルの定理を用いたのですが、特に第二次微分の方が訳が分からなくなってきてとても自信がありません・・・

ご回答どうぞよろしくお願い致します。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

f(x)=e^x-1　とおき、y=x/f(x)と表します。

まず導関数です。
yf(x)=x　として微分。

y'f+yf'=1
y'=(1-yf')/f
=(1-e^x・x/f)/f
=(f-xe^x)/(f^2)
={(1-x)e^x-1}/(e^x-1)^2
※chaikaaさんの答えと一致しました。

y"f+2y'f'+yf"=0
-y"f=2(f-xe^x)e^x/(f^2)+xe^x/f
={2fe^x-2xe^(2x)+fxe^x}/(f^2)
={2e^(2x)-2e^x-2xe^(2x)+xe^(2x)-xe^x}/(f^2)
={(2-x)e^(2x)-(2+x)e^x}/(f^2)
y"=-{(2-x)e^(2x)-(2+x)e^x}/(f^3)
=-{(2-x)e^(2x)-(2+x)e^x}/(e^x-1)^3
※chaikaaさんの答えの分母・分子は、(e^x-1)を割ると、上式
になりそうです。

なお、下記参考URLで答えを不定積分して確認してはいかが
でしょうか。

次にx→0での極限値です。
f→0, f'→1, f"→1, f'''→1。
y→1(ロピタルの定理より、x/(e^x-1)の極限値=1/e^xの極限値=1)

y'=(1-yf')/f　で、分母→0,分子→0なのでロピタルの定理より、
y'の極限値
=-(y'f'+yf")/f'の極限値=-(y'+yf"/f')の極限値
ゆえに、y'の極限値=-yf"/2f'の極限値=-1/2
　※極限値は0になりませんでした。

y"=-(2y'f'+yf")/f で、分母→0,分子→0なのでロピタルの定理より、
y"の極限値
=-(2y"f'+3y'f"+yf''')/f'の極限値=-2y"-(3y'f"+yf''')/f'の極限値
ゆえに、y"の極限値=-(3y'f"+yf''')/3f'の極限値=1/6
　※極限値は0になりませんでした。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

お礼

ご丁寧に本当にどうもありがとうございます！
不定積分で検算ですね！今後やってみるようにします。

それにしても・・・間違いだらけでしたね(^_^;笑
とっても助かりました！

補足

質問者です。

今、答えてくださった内容をもう一度解き直していたのですが、

y'の極限値=-yf"/2f'の極限値=-1/2

y"の極限値=-(3y'f"+yf''')/3f'の極限値=1/6

が分かりません。

初歩的な質問で大変申し訳ありません！極限が大の苦手なのです・・・

また回答してくださると大変嬉しいです。