調和級数

質問

調和級数
１／１＋１／２＋１／３＋・・・＋1／ｎはきれいな式にまとめる事ができるのでしょうか？
それともまとめる事は不可能なのでしょうか？

回答No.7

siegmund · ベストアンサー

すみません．ちょっと間違えました．
n が１つ分ずれてしまいました．
それに，No.2 の(2)は 1/m が抜けていますね(こりゃ，いかん)．
(1)　　Σ{m=1～n} (1/m) = ψ(n+1) + γ
が正しい表式です．

お詫びついでに....

> 調和級数がΓ'(n)／Γ(n)＋γになるのを証明する過程は全然想像がつきませんが難しそうですね。

いや，大したことはありません．
ガンマ関数の重要な性質して
(2)　　Γ(z+1) = z Γ(z)
があります．
両辺の対数を取って
(3)　　log Γ(z+1) = log z + log Γ(z)
両辺を z で微分して
(4)　　ψ(z+1) = 1/z + ψ(z)
になります．
z のところに n, n-1, n-2, ... を代入すると
(5)　　ψ(n+1) = 1/n + ψ(n)
(6)　　ψ(n) = 1/(n-1) + ψ(n-1)
(7)　　ψ(n-1) = 1/(n-2) + ψ(n-2)
．．．．．．．．．．．．．
(8)　　ψ(2) = 1+ ψ(1)
で，辺々加えれば
(9)　　ψ(n+1) = Σ{m=1～n} (1/m) + ψ(1)
ですから，
(10)　　Σ{m=1～n} (1/m) = ψ(n+1) - ψ(1)
になります．
(11)　　ψ(1) = -γ
ですから(1)が得られます．

お礼

証明ありがとうございました。以外と簡単なんですね。
解析概論にオイラーの定数などの記述があったので勉強してみます。

回答No.8

siegmund

siegmund です．
もうひとつ忘れていました．

> ツェータ関数はRe(z)＞1の時しか定義されないんですね。扱いに注意します。

あ，これは私の表現の仕方がちょっとまずかったかも知れません．
ツェータ関数自体はすべての複素数に対して定義されています．
正確に言えば，Re(z) > 1 のときに有効な
(1)　　ζ(z) = Σ{n=1～∞} (1/z^n)
を解析接続して得られる関数がツェータ関数である，
ということです．
つまり，Re(z)>1 でなくてもツェータ関数は定義されていますが，
(1)を使ってはいけません．

例えば，-1<x<1 のときに
(2)　　1/(1-x) = Σ{n=0～∞} x^n
ですから(要するに無限等比級数の和)，
-1<x<1 のときは関数 1/(1-x) の定義を(2)だと思ってもよいわけです．
ところが，|x|≧1 では(2)の右辺は発散ですから，
(2)をもって関数 1/(1-x) の定義とはできません．
普通に(？) 1/(1-x) を使わないと仕方がありませんね．
まあ，この場合はすべての x に有効な表現 1/(1-x) の方が(2)の右辺より簡単ですから，
わざわざ(2)の右辺を使うへそまがりもいないでしょうけれど．

ツェータ関数の話の Re(z)>1 も同様なことです．
ただし，上の話では一般的表現(つまり 1/(1-x) の方)が簡単であったのに対し，
ツェータ関数のでは一般的表現(つまり，すべての z に有効な表現)が
めちゃくちゃ複雑になっているのです．

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。勉強してみます。

回答No.6

siegmund

siegmund です．

No.4 の解答の図で，長方形の高さを一部書き忘れました．
一番高いのが１，次が 1/2，その次が 1/3，以下同様です．

> digamma(ディガンマ)関数ですか…初めて聞きました！！

ガンマ(gamma)関数Γ(z)はご存知かと思いますが，
ガンマ関数の対数微分が digamma 関数です．つまり
(1)　　ψ(z) = (d/dz) log Γ(z) = Γ'(z)/Γ(z)
です．
di は２の意味．
mono, di, tri, tetra, penta, hexa, hepta, octa, nona, deca，...
というギリシャ語起源の数詞接頭語から来ています．
ψ(z) を微分したのが trigamma 関数，もう一度微分して tetragamma 関数,...
これらを総称して polygamma 関数(多ガンマ関数)と呼んでいます．

ついでに，自然数の２乗の逆数の和は
(2)　　1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... = π^2/6
であることが知られています．
４乗の逆数の和なら π^4/90 です．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=437287
もご覧下さい．

なお，Re(z) > 1 のとき(Re は実数部を取る意味)
(3)　　ζ(z) = 1/1^z + 1/2^z + 1/3^z + ...
がツェータ関数の定義になっています．
問題の級数は形式的にはζ(1)に相当するわけですが，
もちろん収束しませんからζ(1)と思ってはいけません．

お礼

より詳しい回答ありがとうございました。
digamma関数の具体的な表式を教えて頂きありがとうございます！
調和級数がΓ'(n)／Γ(n)＋γになるのを証明する過程は全然想像がつきませんが難しそうですね。
ツェータ関数はRe(z)＞1の時しか定義されないんですね。扱いに注意します。

回答No.5

oshiete_goo

無限和の時の調和級数
１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
が対数発散することは知られていて，

オイラーの定数
γ＝lim_{n→∞}(Σ_{k=1～n}(1／k)－logn)＝0.5772・・・
の定義を思い出すか，

テイラー展開
log(1+x)＝x－(1/2)x^2＋(1/3)x^3－(1/4)x^4＋・・・
(収束半径1)の　x→-1+0　の時の極限(→－∞)を考えるなどすれば，対数発散することはうなずけますが，質問者さんの本題は，「有限和のときに，きれいに整理できるか？」だと思います．

筆者は no idea ですが，極限での振る舞いからすると，（対数は有限個の有理関数では表しきれないように，）どうも難しそうに思います．

お礼

漸化式の問題に引き続き回答ありがとうございました。
オイラーの定数
γ＝lim_{n→∞}(Σ_{k=1～n}(1／k)－logn)
＝0.5772・・・
っていうのもあるんですか！知りませんでした！
数学って本当に奥が深いですよね。一生かかっても数学の全てを知り尽くすことは不可能に思えます。
テイラー展開
log(1+x)＝x－(1/2)x^2＋(1/3)x^3－(1/4)x^4＋・・・
(収束半径1)
で考えると対数発散するっていうのが分かりやすいですね！
　皆さんのおかげで調和級数はn→∞のときは対数発散し、nが有限の時はdigamma関数ψ(n)とオイラーの定数γって言うのでまとめる事ができるという事が分かりました。

回答No.4

siegmund

No.1，No.2 のご回答の通り，対数発散します．

> ではnが有限の場合はまとめられますか？

例えば
(1)　　1 + 2 + 3 + ... + n = (1/2)n(n+1)
のように初等的な形でまとめられないのかという意味なら，
まとめられません．

高等関数を使ってよいなら，digamma(ディガンマ)関数で表現できます．
(2)　　Σ{m=1～n} = ψ(n) + γ
です．
ψ(z) がdigamma 関数，γ=0.5772... はオイラーの定数です．
詳細はΓ関数関係の適当なテキスト，あるいは岩波数学公式集などご覧下さい．

なお，符号を交代させれば収束して
(3)　　1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = log 2
です．

mmky さんへのコメント：

問題の級数は

　１　●─○
　　　│　│
　　　│　│
　　　│　│
　　　│　│
　　　│　●─○
　　　│　│　│
　　　│　│　│
　　　│　│　●─○
　　　│　│　│　│
　　　│　│　│　│
　　　───────────
　　　　１　２　３

の階段の下の面積ですから，●を通る曲線の下の面積と○を通る曲線の下の面積
の間にあるわけです．
どちらも対数発散することを示すのは容易ですから，問題の和も対数発散します．

お礼

ありがとうございます！簡単な形ではないけれど、まとめる事はできるのですね！！
　tanxのテーラー展開が一見規則性がないように見えるけれど、ベルヌーイ数を使えば複雑な式で規則性を持った式で表されるというのと同じですね。
　digamma(ディガンマ)関数ですか…初めて聞きました！！

回答No.3

mmky

ちょっと追伸まで
＃１のtksoftさんの参考URLを見ますと、
調和級数
１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・

１０００項で ７．４８５
１００万項で １４．３９３
１０億項で ２１．３
１兆項で ２８．２

10+3 ７．４８５
10+6 １４．３９３ Δ6.908
10+9 ２１．３　　　Δ6.907　
10+12 ２８．２　　　Δ6.9

ですので、無限大になるかどうかはまだ証明されていないのでは？
Rossanaさん質問に参加してごめん！

お礼

ありがとうございました。なんで参加してごめんですか？？むしろ参加して頂いてどうも！って感じですが。
いつもいろんな質問で助けて頂いて感謝しています。

回答No.2

Mell-Lily

調和級数を綺麗な式にまとめることはできません。調和級数は、対数的に増加します。

お礼

ありがとうございました。やはり綺麗にはできないようですね。しかし、その不可能性を証明するのも不可能そうですね。

回答No.1

tksoft

無限大になるそうです。

参考URL：

http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/oira-.htm

お礼

ありがとうございました。
nが無限大の時、発散しまとめる事は不可能である事は分かりました。
ではnが有限の場合はまとめられますか？