この式をベキ級数で表すとどうなるか教えてください。

質問

この式をベキ級数で表すとどうなるか教えてください。

１／（１－Ｚ）＾ｎ　・・・・（ｎ＝1、２、３・・・）

※下記のようにしてみましたがこの先がわからないです。答えと途中の式を教えてください。
１／（１－Ｚ）＝∞Σｎ＝0　Ｚ＾ｎ　（|Ｚ|＜１）

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

テーラー展開するだけだと思います。
　　f(Z) = 1/(1-Z)^n
とし、f(Z)のk階導関数を、f_k(Z)とします。すると、
　　f(0)=1
であり、k>=1のとき
　　f_k(Z)=n…(n+k-1)(1-Z)^(-n-k)
　　f_k(0)= n…(n+k-1)
だから、
　　f(Z) = Σ [k=0→∞](f_k(0)/k!)Z^k
　　　　= 1 +Σ [k=1→∞]( n…(n+k-1)/k!)Z^k
となります。

回答No.1

Mr_Holland

Σ[n=1→∞] 1/(1-z)^n　は初項1/(1-z)　公比1/(1-z)の無限等比級数になります。
　このとき収束条件は　|1/(1-z)|<1　ですので　|z-1|>1

　このとき　無限等比級数は　Σ[n=1→∞] 1/(1-z)^n =1/(1-z) 1/{1-1/(1-z)}=-1/z　となります。