直和分解 （ヒルベルト空間）

質問

Ｈ：ヒルベルト空間
Ｍ：Ｈの閉部分空間
Ｍ^⊥：Ｍの直交補空間　　　　　とするとき、

Ｈ＝ Ｍ＋Ｍ^⊥ ＝ ｛ ｘ＋ｙ ｜ ｘ∈Ｍ , ｙ∈Ｍ^⊥ ｝

この証明に行き詰っております。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/tupleRnMetric/OrthogonalComplementThrm.htm
定理：ユークリッド空間Rnは、その部分空間とその直交補空間に直和分解される

↑を参考に解いてみたのですが、ユークリッド空間Ｒ^ｎでのみしか証明されていませんでした。
　ユークリッド空間Ｒ^ｎ　⇒　ヒルベルト空間Ｈ
に変われば、証明も変わってくると思うのですが、どのようにすればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

参照先の証明は、
「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」のほうの形をとっているようです。

内積空間 H の線型部分空間 M に対して、
M⊥ を、x ∈ M⊥　⇔　∀y∈M, x・y = 0　で定義する。
この M⊥ が M の補空間となることを示すために、補空間の定義に沿って、
(1) M ∩ M⊥ = { 0 }
(2) ∀x∈H, ∃y∈M, ∃z∈M⊥, x = y + z
を示す。

(1) x ∈ M ∩ M⊥ とすると、M⊥ の定義より、x・x = 0 が成り立つ。
　　よって、内積の定義により、x = 0 である。

(2) M の一組の正規直交基底を { e_λ | λ∈Λ } とする。
　　y = Σ[λ∈Λ] (x・e_λ) e_λ
　　z = x - y と置くと、
　　e_λ が基底であることより、y ∈ M。
　　内積の線型性により、x・z = …中略… = 0 となる。よって、z ∈ M⊥。

もとの証明では、内積の線型性や、x・x = 0 ⇒ x = 0 などの性質を、
R^n の「自然な内積」の具体的な式形によって説明していましたが、
一般的な内積空間について証明するときには、これらは、内積の公理です。

ちょっと気になる箇所は、部分空間 M に正規直交基底が存在するのか？です。
R^n では、M に基底が存在することは自明で、あとはグラム・シュミットの直交化
によって正規直交基底を構成することができますが、H が一般の内積空間だと、
特に M が有限次元でない場合、基底が存在するかどうかが問題になります。

実は、選択公理の下では、任意の線型空間に基底が存在することが言えます。
しかし、H がただの内積空間でなく、ヒルベルト空間であることを使って、
もう少しスマートに基底の存在が示せれば、そのほうが良いと思います。

回答No.1

arrysthmia

前回質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4407478.html の
回答にも付記しましたが、
直交であろうとなかろうと、W が M の補空間であれば、
H が M と W の直和であることは、
「補空間」の定義そのものです。

問題が意味をなすようにするには、
「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」または
「補空間のなかで、もとの部分空間と直交するものが存在する」
と読み替える必要がありそうです。

そう考えた上で、ヒントは、その参照先にある
「※計量実ベクトル一般において」という言葉です。
ヒルベルト空間 ⊂ 内積空間 ＝ 計量空間
ですからね。
参照先の証明でユークリッド空間の「自然な内積」を使っている
部分を、内積空間に定義された内積に置き換えれば、そのまま
内積空間での証明になります。

お礼

＞補空間のなかで、もとの部分空間と直交するものが存在する
＞と読み替える必要がありそうです。

↑まさしく、その通りでした。すみません。

＞参照先の証明でユークリッド空間の「自然な内積」を使っている
＞部分を、内積空間に定義された内積に置き換えれば

この部分がいまいち理解できず、いま悩んでおります。
理解力が無くて申し訳ないです。