補空間

質問

R^2が{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}の直和になっていることを示したいのですが、{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}は互いに直交補空間なので明らかなのでしょうか？変な言葉がいっぱい出てきて頭が爆発しそうです！

回答No.2

mathsan · ベストアンサー

回答の前に問題の意味をどのように理解されているのか気になりました。
直和,直交補空間 の言葉の定義については、大丈夫でしょうか？
一応,これらの言葉の定義を説明します。
直和 の定義…
線形空間V,Vの線形部分空間W,W'とする、このとき
W,W'がVの直和 :⇔ V=W+W',W∩W'={0}

直交補空間 の定義…
計量線形空間V,Vの線形部分空間W,W'とする、このとき
WがW'の直交補空間 :⇔ W={w∈V;<w,w'>=0 for all w'∈W'}
(* 直交補空間については，これ以外の性質を定義として用いる場合もあります )

ご質問の回答に関しては,直交補空間について考える必要はありません。(そもそも直交補空間であることを示す方が後になります)
直和であることを示すために
任意の(a,b)∈R^2,(a,b)＝h(cosφ,sinφ)+k(-sinφ,cosφ)
となるh,kをa,b,φを使って表せればいいです。
(これについては、#1様の計算を参考にして下さい
実際には、h,kについての連立方程式を解くことになります)
(* 面倒なので,#1様と異なり,列ベクトルと行ベクトルの違いを無視して書きます。正確には,#1様のような区別を要します。)
次に
{(rcosφ,rsinφ);r∈R}∩{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}={0}を示すます。
(これについては、#1様の計算を参考にして下さい
共通の元については,r=0の場合しかないことを示す )

最後に回答がくどくなってしまったので,
{(rcosφ,rsinφ);r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}が
夫々どんなグラフになるかだけ説明します
{(rcosφ,rsinφ);r∈R}…x軸をφ回転させた直線
{(-rsinφ,rcosφ);r∈R}…y軸をφ回転させた直線

回答No.1

leige

ここで、(a,b)^tと書いて(a,b)の列ベクトルを表すことにします。

Ａを a_{1,1}=cosφ a_{1,2}=-sinφ
a_{2,1}=sinφ a_{2,2}=cosφの成分からなる行列とします。

そうすると
Ａ^(-1)は a_{1,1}=cosφ a_{1,2}=sinφ
　　　a_{2,1}=-sinφ a_{2,2}=cosφの成分からなる行列となります

このとき(x,y)^t∈R^2にたいして
a(cosφ,sinφ)^t∈{(rcosφ,rsinφ)^t;r∈R}
b(-sinφ,cosφ)^t∈{(-rsinφ,rcosφ)^t;r∈R}
をとって
(x,y)^t＝a(cosφ,sinφ)^t+b(-sinφ,cosφ)^t…(i)
=Ａ(a,b)^t
これより
(a,b)^t＝Ａ^(-1)(x,y)^t…(ii)
これより、(x,y)^t∈R^2のベクトルについて
(ii)で与えられるa,bをつかえば(i)のように表されて
R^2＝{(rcosφ,rsinφ)^t;r∈R}+{(-rsinφ,rcosφ)^t;r∈R}…(iii)
が成り立ちます。

また(s,t)∈{(rcosφ,rsinφ)^t;r∈R}∩{(-rsinφ,rcosφ)^t;r∈R}
とすれば
(s,t)=c(cosφ,sinφ)^t=d(-sinφ,cosφ)^t
となりますが
(0,0)^t=c(cosφ,sinφ)^t-d(-sinφ,cosφ)^t＝Ａ^(-1)(c,-d)^t
したがって
(c,-d)^t＝Ａ(0,0)^t=(0,0)^t
つまり、c=d=0なので
{(rcosφ,rsinφ)^t;r∈R}∩{(-rsinφ,rcosφ)^t;r∈R}＝Φ(空集合)…(iv)
となります。
そうすると(iii)、(iv)から
R^2＝{(rcosφ,rsinφ)^t;r∈R}と{(-rsinφ,rcosφ)^t;r∈R}の直和
が成り立ちます。

くどい説明になっているとおもいます。
適当に削ってください。