ヒルベルト変換について

質問

離散信号x(n)のヒルベルト変換をxL(n)としたとき，
この両者が直交関数形となることを示したいのですが，
手順が分かりません．

ご存知の方がいましたら手順等を教えてください．

回答No.2

stomachman

「直交関数形」が何を意味するのか分かりませんが、ヒルベルト変換をする前の関数と、変換した後の関数とが直交する、という話かな、と思うんでその線で進んでみます。

　ヒルベルト変換は、周波数空間で言えば、周波数が正の部分だけ取り出して負の部分を捨てる操作、すなわち
　　H(ω) = (ω>0なら1, ω=0なら1/2, ω<0なら0)
という線形フィルタを掛け算することに他なりません。ここで
　　S(ω) = (ω>0なら1/2, ω=0なら0, ω<0なら-1/2)
というフィルタと
　　D(ω) = 1/2
というフィルタとを考えると、
　　H(ω)=D(ω) + S(ω)
である。
　S(ω)は、実空間では
　　A cos(kt) = A(e^(ikt)+e^(-ikt))/2、B sin(kt) = B (e^(ikt)-e^(-ikt))/(2i)
の成分をそれぞれ
　　A (e^(ikt)-e^(-ikt))/2 = (iA)sin(kt)、(e^(ikt)+e^(-ikt))/(2i) = (B/i) cos(kt)
に写す変換であり、つまり信号のcosine成分をsine成分に、sine成分をcosine成分に、また実数成分を虚数成分に、虚数成分を実数成分に、それぞれ変換する作用をします。
　たとえば、元の信号x(t)が
　　x(t) = 6cos(t) + 4sin(2t)
だったとすると、　フィルタSによって
　　y(t) = i(6sin(t) - 4cos(2t))
に変換され、xとyは（三角関数の直交性から）明らかに直交しますね。どんな信号xであっても同じことです。
　一方、D(ω) は単に信号の振幅を半分にするだけのフィルタで、x(t)は (1/2)x(t)へと変換される。
　ということは、xにフィルタHを作用させると、Dによって振幅が半分になっただけのものと、Sによってsineとcosineが入れ替わり実部と虚部が入れ替わったものy(t)との和
　　 (1/2)x(t)+y(t)
が結果になります。上記の通りxとyは直交しますが、xと (1/2)xは直交どころか平行です。だから、ご質問の命題は成立たない。

　けれどもまた、上記の通り、ヒルベルト変換の結果から (1/2)x(t)を引き算したものy(t)なら、x(t)と直交するわけです。

回答No.1

m0r1_2006

内積取って 0 になることを言う．
周波数空間で計算した方が楽．
たぶん，DC 成分 = 0 が必要だと思う．