電磁気学《磁気：仮想変位法によるコイル間に働く力》
早速ですが、質問いたします。
問.無限に長い直線電流I[1]と半径aの円電流I[2]とが同一平面内に、円の中心から直線電流までの距離がd(d>a)の位置に置かれたとき、その間に作用する力を仮想変位の方法を用いて求めよ。
と言う問題で、円電流I[2]上の或る任意の点をＰとしそのベクトルを→aとするならば、d方向とのなす角をθとすれば、点Ｐは（acosθ,asinθ）と表せる。
仮想的にd方向にΔdだけ変位させると、アンペアの法則より、
∫Hdl=H・2π(d+Δd+acosθ)=I[1]となるから、
H=I[1]/{2π(d+Δd+acosθ)}
B=μ[0]Hより
B=μ[0]I[1]/{2π(d+Δd+acosθ)}
となります。
一方、変位させる前は、同様に
B'=μ[0]I[1]/{2π(d+acosθ)}
となります。
ここで、微小変化した磁束Φを求めるため、
仮想変位による磁束Φと変位させる前の磁束Φ'を求める。
Φ=BSだから
Φ=∫Bdθ [asin(√{1-(Δd)^2/(4a^2)})～ asin(-√{1-(Δd)^2/(4a^2)})]
となりますが、
(Δd)^2→0より
Φ=∫Bsθ [1～-1]
更に、t=tan(θ/2)と置いて整理すれば、
Φ={μ[0]I[1]/{π√(d+Δd)^2-a^2)}}[atan√{(d+Δd-a)/(d+Δd+a)}t]
※tの積分範囲は1～-1。
同様にして、
Φ'=B'S=∫B'dθ={μ[0]I[1]/{π√(d^2-a^2)}}[atan√{(d-a)/(d+a)}t]
※tの積分範囲は-1～1。
ここで、
ΔΦ=Φ-Φ',ΔW=I[2]ΔΦ,求める力F=ΔW/Δdの関係があるので、
F=I[2]ΔΦ/Δdとなる.
しかし、
自分は、ΔΦ={2μ[0]I[1]/π}[{1/√(2dΔd+d-2-a^2)}(atan√{(d+Δd-a)/(d+Δd+a)})+{1/√(d^2-a^2)}(atan√{(d-a)/(d+a)})
となり、ここから一歩も進めません...。
答えは『μ[0]I[1]I[2]({d/√(d^2-a^2)}-1)』と分ってますが、どうすればいいかわかりません。
どなたかご教授願います。
