永久磁石がものを引きつける力の計算方法は？

質問

表面磁束密度400 mTのネオジウム永久磁石があります。

この磁石がものを引きつける力を具体的に計算するにはどのような式を用いて計算したら良いのでしょうか？

磁石がものを引きつける力は磁石表面から離れれば離れるほど弱くなるというのは直感的にというか、磁力もクーロン力と同様に扱えるというような記述をどこかで見たことからも分かるのですが、実際に400 mTの磁束密度（磁力）を持つ磁石は、ある距離離れたところでどれだけの力をもって引き寄せようとするのか具体的に計算をしたいと思っています。

実際の計算に永久磁石の磁力の他に引き寄せようとする対象物についての情報も必要なのでしょうか？

また、このようなことを考える上で、どのような本や文献で勉強できますか？

おわかりの方、是非ご教示下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

foobar

ものすごく大雑把な概算（というのも変な表現ですが）をするなら、
磁石の片面を試験管などに向ける、磁性体を分散させた溶液の平均的な比透磁率はほぼ１、磁性体自体の比透磁率は十分大きい、と仮定して、

1.磁石を円環電流(直径1cm)で近似する。
2.円環電流の軸上の磁場強度の式と、磁石表面のBから等価円環電流の大きさを計算する。
3.軸上で磁石からx[m]での磁界の強さB(x)を計算する。
4.軸上で磁石からxの位置の磁性粒子のもつエネルギーE(x)を計算（大雑把には、粒子の体積*B(x)^2/(2μ)で計算できる）
5.E(x)の傾き(dE/dx)が粒子に加わる力

という手順で計算できるかと思います。
（2での電流算出は省略（単に、磁石表面でB0になるように比例係数を決めればいいので）できるかも知れません。）

補足

foobarさん

回答ありがとうございます。仕事の都合でなかなかここを訪れることができず、返信が遅くなってしまい申し訳ありません。

今回のアドバイス中、4番目の項目で大ざっぱには粒子の体積と磁束密度の２乗を掛け合わせたものを2uで割るとなっていますが、ここでいう"u"とは真空中の透磁率でしょうか？それとも、対象となる磁性粒子の透磁率でしょうか？

磁性粒子のもつエネルギーの計算式の中にその体積の項が入ってくるとなると、やはり数マイクロメートル程度の磁性粒子では、どんなに磁石が強くとも磁石から引きつけられる際にかかる力は非常に小さいということでしょうか？

だからといって、吸引対象がただ大きければいいというわけではないことも、わかります。
大きくなれば質量も出てきますし、溶液中だろうがなんだろうが摩擦により打ち消されてトータルでかかる力は弱まるということですよね？

ということは、同じ大きさの同程度の磁性（透磁率？）をもつ粒子があった場合、中空で質量の軽い粒子の方がより動かし易いと考えてもいいんでしょうか？

たびたびの質問になってしまって申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

foobar

正確に計算するのは非常に大変かと思います。
磁石の形状、特性、吸引対象の大きさ、形状、物性の影響を考える必要があるので。

概算する場合には、

ある程度以上の距離がある場合には、磁石を二つの点磁極で等価的に置き換えて、扱うことになるかとおもいます。（この場合でも、吸引対象の形状、大きさの影響があるので、計算は面倒）。さらに、モデルを簡略化して、吸引対象は十分に小さく、十分高い透磁率をもっている、とすると、磁石周辺の磁界分布から、吸引力を概算できます。（体積あたりの磁気エネルギーがどう分布しているか計算できるので、仮想変位で吸引力を計算できます。）

逆に磁石と磁性体が非常に近く、磁性体が十分大きな場合には、磁束は空間内で一定として、吸引力を概算できます。（0.4Tだと、大体60kPaくらいの圧力に相当するので、磁石の面積をかけると吸引力を概算できます）

補足

foobarさん

早速の回答ありがとうございました。やはりかなり大変というか難しいようですね。とても参考になりました。

下記にもう少し詳しく、どのような状態を想定して、何を知りたいかを書いてみました。

現在用意している磁石は直径1 cm、厚さ5 mmの丸形のもので、吸引対象はある状態（溶液中の懸濁状態？）に置いた直径3 um程度の大きさを持つ磁性粒子です。

イメージとしては、直径が1 ～ 2 cm程度の容器の中に分散させた磁性粒子懸濁液に容器の外側から磁石を近づけていった場合に、磁石から例えば1 cm、5 mm等の距離にある磁性粒子がどのくらいの力を受けているのかを概算で良いので知りたいと思っています。

とにかく、このような計算はかなり難しいようなので、代替方法を考えなくてはいけませんね。困った．．．