０の０乗は１、にしたい（その４）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html -- 続き
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4375134.html -- その３
の続きです。

0^0を極限値から求める方法について考える。
候補は、次の３つである。（右極限値のみ考える）

(1)lim[y→+0]0^y
(2)lim[x,y→+0]x^y
(3)lim[x→+0]x^0

(1)について、lim[y→+0]0^y=0である。しかし、P=0^0と置くと
lim[y→+0]0^y
=lim[y→+0]0^(0+y)
=lim[y→+0]0^0*0^y
=lim[y→+0]P*0^y
=P*lim[y→+0]0^y
=P*0=0
つまり、この極限値は0^0の値とは関係なく0となるので、0^0は決定できない。

(2)について、極限値lim[x,y→+0]x^y=Lが存在するとは、
任意のεに対して δx,δy を適当に選べば、次のことが成立することである。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, 0< x-0 <δx, 0< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε
ところが、x→0の値とy→0の値は異なるため、次の様に修正を行う。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, δx/2< x-0 <δx, δy/2< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε

(x/2)^y=x^y*(1/2)^y≒x^y (|y|≪1)
x^(y/2)=√(x^y)
であるので、任意のεが存在するためには、L=0またはL=1でなければならない。
しかし、x>0, y>0 であれば x^y>0 であるので、L=1 である。

(3)について、lim[x→+0]x^0=1であり、
lim[x→+0](x+y)^0=1
も任意のy∈Rで成り立つ。つまり、(1)のような問題はない。

また、xの逆数（乗法の逆元）について
(A)x*x^(-1)=x^1*x^(-1)=x^(1-1)=x^0=1
(B)1=□*xの□を1/xと表す
という２つの意見があり、xの逆数はx^(-1), 1/xの２つがある。（続きの#49）

(A)と(B)で定義される逆数が等しければ、
x^(-1)=1/x
これがx=0^0でも成り立つとすると、
(0^0)^(-1)=0^(0*(-1))=0^(-0)=0^0=1/0^0
よって、0^0=1である。

いずれも、0^0=1を否定しないか、それを肯定しています。
この考えに、問題はありますか？

回答No.14

arrysthmia · ベストアンサー

←No.12 補足
＞ これも、理由は「未定義」だから、なんでしょ？
＞ そして、「連続でない」から「未定義」なんですよね。
＞ それとも、常識または慣例だから「未定義」なんでしょうか。
＞ それとも、定義すると不便だから「未定義」なんでしょうか。

私が「未定義」を推す理由は、
第一に「定義すると不便だから」であり、
また、「常識または慣例だから」でもある。

間違っても、「連続でない」ことから「未定義」であることが
導けるなどとは、言っていない。そんなことは、できようもないし、
むしろ、そんなことはできないのだ　というのが、
私が君に強く訴えたい点だ。

「連続でない」から「定義すると不便」であり、そのことが、
「未定義」としたい理由にはなっているが。
あくまで、主観的な判断である。

＞ 私としては、「0^0≠1 を導くことができる」が導けないのであれば
＞ 十分なのですが…

この辺の行間に滲む、0^0=1 がどこかから導ける　という発想が
根本的な間違いである　と考えている。

0^0=1 と定義した、べき乗の別バージョンには、それなりの使い勝手
があり、そうのようなものを定義する意義は否定しない。
そのことは、(その１) No.10 から一貫して述べている。
変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と
正直に告白すればよいのだ。Knuth のように、同じ趣味の人もいるだろう。
特殊な、個人的な趣味の話なのだ　ということを忘れなければ、
問題は無い。

証明できる事実は、自然数 y について、掛け算の反復で素朴に定義した
x^y と一致し、任意の実数 x,y について連続かつ指数法則を満たすような
２変数関数 x^y は存在しない　ということだけだ。

そこから出発して、
0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
を定義する立場もあれば、
y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
を定義する立場もある。

両者は、違うものを「べき乗」と呼んでいるだけで、
どちらかが間違っているというものでもない。
ただ、一方の定義は普及しており、もう一方は「オレ流」である
というだけの話だ。
「べき乗」を２種類定義すること自体、煩瑣で不便だとは思うが…

「オレ流」の選択を普及させるための活動として、それが
何かの方法で証明できる事実であるかのように語るのは、不正直である。
君の不正直な語り口が気に入らないことは、Wikipedia の誤引用による
情報操作 (その１) No.26 の時にも述べた通りだ。

お礼

違いがはっきりしてきましたね。
さらに問いたいのですが、べき乗は２種類ではありませんか？

＞0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
＞を定義する立場もあれば、
＞y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
＞を定義する立場もある。

0^0を定義せず、定義域はx>0, y∈Rで、指数法則を満たし、連続な関数と、
0^0を定義し、定義域はx∈R, y∈Zで、指数法則を満たし、不連続な関数（多価を許せばyは有理数に拡張可能）と、
２つの関数を合成したものが、べき乗であると言えませんか？

２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが、定義域が部分集合の関係になっておらず、１つめの関数を無理に拡張すると、奇妙なことが起こります。
たとえば、(-1)^1は-1ですが、これは連続性を満たしていません。
0^0に値があるのに、連続でないのは、(-1)^1と同じ理由かもしれません。

＞私が「未定義」を推す理由は、
＞第一に「定義すると不便だから」であり、
＞また、「常識または慣例だから」でもある。

念のために確認しますが、何が不便なのでしょう。
「不連続だから」に戻りませんか？
それ以外の実例を示してもらえたら、分かり易いのですが…

＞変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と

そうかもしれませんね。
でも数学は、その主観を認め合うものじゃありませんか？
計算は１０進数でするのが常識です。
でも、２進数も認められます。
認められるかどうかの基準は、それが矛盾を含んでいないかどうかだけです。
記号や関数の定義など、常識は作られますが、それは理論とは、何の関係もありません。

今回の場合は、べき乗をどう定義するか、という問題を含んでいますから、それは実用的で便利なように定義すれば良いでしょう、１０進数を選んだように。
でも、こういう仮定ではこうなりますか？という質問に、その仮定は常識から外れていると答えるのは、止めて欲しいですね。

ありがとうございました。

補足

お礼の誤記を訂正します。

＞２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが

デルタ関数ではなくて、ガンマ関数でした。
No.17で引用されてますが、こちらもガンマ関数です。

話は通じているようですが、すみませんでした。

回答No.7

Tacosan

自分の使っている電卓で 0^0 が 1 になったからといって, それが世界の常識と思っちゃいかんだろ＞#1. ちなみに私の手元の電卓では 0^0 が「?」になった.
そういえば,
「0^0 を 5 で割った余り」と
「5^4 を 5 で割った余り」は
等しい方が好きですか?

お礼

何か罠があるんでしょうか。
余りはもちろん、１と０で異なります。

ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

誤字訂正：
それは、「0^0=1 であって欲しい」と仮定したら
「0^0=1 である」と結論された　というだけのことではないか。
そういった循環論に、何か意味はあるのか？

回答No.5

arrysthmia

誤りだらけ。

(1) についての考察の誤り：
そこでの「0^0は決定できない」は、正確には、
そこに書いた式変形からは 0^0 の値は決定できない
ことを意味しており、lim[y→+0]0^y を考察することが
無意味だということではない。
貴方の式変形が、無意味だっただけだ。

(2) についての考察の誤り：
そこでの「L=0またはL=1でなければならない」に至る考察は、
lim[x,y→+0]x^y の収束性を証明なく仮定している。
実際には、lim[x,y→+0]x^y は、二重極限の意味では発散する。

(3) についての考察の誤り：
lim[x→+0]x^0=1 という計算は正しい。ただし、
それが 0^0 の値と何の関係があるのかについては
何も述べていない。無意味というか、前後の文との脈絡が無い。

その後の部分の誤り：
以前にも指摘したが、x^y が (x,y)=(0,0) では連続でなくても
よいが、(x,y)=(0,0) でも指数法則は成り立たなくてはならない
と仮定する理由は何か？　その理由が「そうあって欲しいから」
であれば、それは、「0^0 であって欲しい」と仮定したら
「0^0 である」と結論された　というだけのことではないか。
そういった循環論に、何か意味はあるのか？

お礼

＞実際には、lim[x,y→+0]x^y は、二重極限の意味では発散する。

やっぱり、この意見は変わらないみたいですね。
＃私もちょっとネタ切れですが…

＞(x,y)=(0,0) でも指数法則は成り立たなくてはならない
と仮定する理由は何か？

まず、xの逆数は何だと思いますか？x^(-1)？1/x？
あと、理由も答えてもらえたらと思います。
今回は、それを等しいと置いただけです。

ありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

なんというか....
少なくとも (2) の論はめちゃくちゃです.
いろいろ突っ込むポイントはあるんだけど (さしあたり 3か所は見つかった), とてつもなく巨大な穴を 1点:
任意の x > 0, y > 0 に対して f(x, y) > 0 であるとしても, それだけでは lim[x, y→0] f(x, y) > 0 を導けません.

お礼

なるほど。
では、L=0またはL=1なのでしょうか。

ありがとうございました。

回答No.3

myda

いろいろあるのですが．

続きの#49のことなんですが，「xが0でない場合は」計算した結果，x^(-1)=1/xが成立するといっただけで，逆数は1/xとは言ってないです．あくまで逆数はx^(-1)です

次に，(1)について．「lim[y→0]　0^yが0^0に収束しないなら」が条件ですよね？

今回はP=1だという主張も入ってますね？

そうなると(その3)の命題は変わってくるはずで，
[示したいこと]0^0=1
[そのために示したいこと＠]0^yは0^0に収束しない
[@を示すための仮定]0^0=P(Pは任意)
となります．すなわち，(その３)の命題は，
「すべてのP in Rに対して((0^0=P)なら(0^0は0^yに収束しない))」

これは否定されているので(P=0のときは明らかに偽)，(1)は0^0=1を否定することになりますが？

お礼

＞あくまで逆数はx^(-1)です

何度も同じことは書きたくないので、私と別の主張をするなら、私がお礼で書いたことを否定してから始めませんか？

＞次に，(1)について．「lim[y→0]　0^yが0^0に収束しないなら」が条件ですよね？

(1)にそのような条件は書いてませんが…

＞今回はP=1だという主張も入ってますね？

(1)だけでは、その結論は出てきません。
(1)にはその主張は入っていません。

＞そうなると(その3)の命題は変わってくるはずで，
＞[示したいこと]0^0=1

変わってません。示したいこともこれではありません。

＞[そのために示したいこと＠]0^yは0^0に収束しない

これも示したいことではありません。

その４のどの文章を見て、そう判断したのか示していただければ助かります。

ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

まずは、誰も0^0=1を否定はしていない。

(2)に関して、
x軸上からの極限と、y軸上からの極限が考えられていない。
x^yが複素数の値を持つとして、
x=0かつy<0　以外のすべての範囲、方向からx=y=0への極限を考えるべき。
（右極限に限るべきではない）

(3)に関して、
y=-xの場合を除外すれば正しい。
(任意のyで成立するためには、yがxに従属する場合でも成り立たなければならない)

その後に書いてあることに関して、
0^0で指数法則が成り立つなら正しいが、一般には0^0は未定義なので、指数法則が成り立つことを示す必要がある。
(0^0)^(-1)=0^(0*(-1))ができることを示す。

また0^0=1/0^0では0^0=1,-1の二つが出てくる。
もちろん0^0が値を持つというのが大前提であるが

お礼

＞まずは、誰も0^0=1を否定はしていない。

0^0=1しかありえない、ということも肯定してもらえますか？

＞x軸上からの極限と、y軸上からの極限が考えられていない。

x軸上からの極限は(3)、y軸上からの極限は(1)と思っていましたが、違いますか？

＞x=0かつy<0　以外のすべての範囲、方向からx=y=0への極限を考えるべき。

x<0, y>0とx<0, y<0には、複素数で考えても答がありません。
x<0, y=0とx>0, y<0は、それぞれ(3)と(2)の議論と同じになるでしょう。

＞一般には0^0は未定義なので、指数法則が成り立つことを示す必要がある。

指数法則の説明で、0^0に対して成り立たないと明記されているのは見たことありません。
0^0を１以外に定義すると、指数法則に反してしまいます。
つまり、0^0は１以外に定義できないのです。

定義するなら１以外に無く、１と定義しても矛盾がないのに、それでも定義しない理由はなんですか？
今回、極限値を考えても１以外にはあり得ないと言っているのですが…

＞また0^0=1/0^0では0^0=1,-1の二つが出てくる。

0^0*0^0=0^(0+0)=0^0
これも利用すれば、-1は否定されます。

ありがとうございました。

回答No.1

splwtr

電卓でも、0^0は1です。
したいのでなくて、そうなんです。

貴方にとって、
1+0
は、どんな答えですか？

たぶん、証明及び過程を追求されてると思いますが
なんで、数学は10進数で考えるのか？
それも、ついでに、証明して欲しいです。

以上

お礼

＞電卓でも、0^0は1です。

電卓ではそうでも、常識では未定義だそうです。

＞貴方にとって、
＞1+0
＞は、どんな答えですか？

常識で答えるしかありませんが、１です。

＞なんで、数学は10進数で考えるのか？
＞それも、ついでに、証明して欲しいです。

数学は、１０進法で考えている訳ではありません。
表現方法として使っているに過ぎません。
２進数で考えても、因数分解の方法が変わるということはありません。

なぜ１０進数か、については、慣れでしかありません。
２進数なら、九九を憶える手間が減るのですがね。

ありがとうございました。