０の０乗は１、にしたい（その３）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html
の続きです。

今回は、方針を変更して、次のことを示したいと思います。
lim[y→0]0^y≠0^0

0^0が値を持つと仮定して、その値をP=0^0と表します。
これを使うと、極限値は次のようになります。
lim[y→0]0^y
=lim[y→0]0^(0+y)
=lim[y→0]0^0*0^y
=lim[y→0]P*0^y
=P*lim[y→0]0^y
=P*0
=0

この結果を見て、P=0を主張される方がいますが、それは誤りではないかと感じました。
私の主張は、Pの値つまり0^0は、上記極限値とはまったく別に決めることができる、ということです。

この考えに、問題はあるでしょうか？

回答No.13

jokyoju

No11.12です。
No11の回答のお礼
＞0^1=0とすると
＞0^1=0^(2-1)
＞=0^2*0^(-1)
＞=0^2/0^1
＞=0/0
＞となり
＞0/0=0となります。
＞これと同じじゃないですか？
＞さすがに、0^(-1)は未定義とするべきでしょう。

まさにおっしるとおりです。
ただ指数の法則
a^(-n)=1/a^nについてa≠0
が0^0=1とすることにより
a^(-n)=1/a^nについてa=0のときはn=0に限るなり
指数法則の拡張性はないのではないでしょうか

指数はa^nはaをn回掛け合わせるという意味ですが
a^0はa/aという考え方ではないでしょうか
この場合a≠0であれば当然a^0は1となります。
a^0=a/aと定義した場合0^0=0/0となります。
n=0を追加しても指数法則は成り立つので指数法則は拡張されます

またa^nは1にaをn回掛け合わせるという意味と考えれば
a^2=1*a*a
a^1=1*a
a^0=1 (1にaを掛けない)
となり
当然
0^0=1となります。
ここで0^0=1を定義することにより指数法則もa=0でn=0の場合のみ拡張されますが

また質問者様が
0^0=0^(-0)=1/0^0を根拠にこの式が成り立つのは0^0=1のみと
述べられていますが、0について指数法則が成り立つかわからない段階でこの式を使っていくのはどなたが指摘していたように循環論法ではないですか

0^0について求めるには極限値とはまったく違う方法で決めることができれば（たとえば上記のa^nが1にaをｎ回掛けたものであるとの考え方にたてば0^0は当然1となります）よいのですが、そうでなければ極限値で決めるしかないのではないですか、その場合には極限値のとりかたにより0^0はどんな値をとることもできると思います。

他の方の投稿の内容と重複する部分もあるとおもいますが、お許しください。

お礼

＞a^0はa/aという考え方ではないでしょうか

従来の定義からすれば、こういう計算をしなければならないので、0^0は計算できないですね。
だから、0^0=1としようとすれば、定義を変更するしかないです。

＞0について指数法則が成り立つかわからない段階でこの式を使っていくのはどなたが指摘していたように循環論法ではないですか

その指摘も一理あります。
でも、指数法則が0^0には適応できないという意見も、根拠は「0^0が未定義だから」、なんです。
それ以外の数値では、指数法則は成り立つんです。
指数法則の説明で、0^0では成り立たないという記述はないのに、0^0の話になると、急に制限が出てくるのは、強い違和感があるんですよね。

＞その場合には極限値のとりかたにより0^0はどんな値をとることもできると思います。

極限値も１である、という考えを「その４」で示しました。
そちらも意見をいただければ嬉しいです。

＞他の方の投稿の内容と重複する部分もあるとおもいますが、お許しください。

そんな遠慮は不要です。
この質問は、質問というより、（何故か）私の一方的な自説の回答者様への説得になってますから。（笑）
納得できないなら、何度でも質問してください。
あやふやな意見でも結構です。
そのお互いの質問の中で、話は進んで行ってますから。

ありがとうございました。

回答No.12

jokyoju

No11です。
＞このため0^0＝0とすると通常の指数の法則使えなくなります。
は0^0=1のあやまりです。

これは私の個人的意見ですが、
0/0も割り算を掛け算の逆算であるという考え方をとれば
a/bはbを掛けたらaになる数と考えれば
0/0は1でも2でもどんな数でも成り立つため不定といえるでしょう
でもたとえば0/0=1と定義すると
0/0+0/0=(0+0)/0=0/0となり
　　　2=1となってしまい通常の四則の計算の法則が成り立たなくなります。

0^0も極限のとり方により1でも2でもどんな数でもなりますが。
No11で書いたように0^0を定義すると指数の法則が成り立たなくなる場合ができるのではないでしょうか。

お礼

＞0^0も極限のとり方により1でも2でもどんな数でもなりますが。

これは、今後否定して行きますので、お待ちください。
＃否定の仕方は特殊ですが…

ありがとうございました。

補足

この質問の内容も含めた、新たな質問を行いました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4381009.html

回答No.11

jokyoju

0^0=1とすると
a^(m-n)=a^m*a^(-n)
=a^m/a^n
この式においてa=0,m=1,n=1とした場合
0^0=0^(1-1)
=0^1*0^(-1)
=0^1/0^1
=0/0
となり
　0/0=1となります。
こうなるといろいろ矛盾がでてきます。
このため0^0＝0とすると通常の指数の法則使えなくなります。
今回の質問の回答にはなっていませんが前回の質問が気になったので

お礼

0^1=0とすると
0^1=0^(2-1)
=0^2*0^(-1)
=0^2/0^1
=0/0
となり
0/0=0となります。
これと同じじゃないですか？
さすがに、0^(-1)は未定義とするべきでしょう。

ありがとうございました。

回答No.10

Tacosan

えぇと.... いろいろ言いたいんだけど 2つだけ.
まず 1つ目: 「0^0 の値を指定しなければ 0^0 = 0 の真偽は決まらない」んだけど, それは大丈夫? だから, 命題論理の中では「命題」ではないということになります. これは, あなたが例示した
「x+y = 0 ⇒ y = 0」
も同じで, これは x の値によって真偽が決まる「命題関数」ではあっても, 「それ自体で真偽が決まる」命題ではありません.
2つ目: 普通の論理において, 「当然～である」とか「～とは限らない」とかいう文は扱わないんだけど, そこは理解してる?
こいつらを扱おうとすると普通は様相論理を持ち出してきて, そこでは
「□P: 必然的に P である」
「◇P: P である可能性がある」
という記号を使います. もちろん (￢ を否定として)
￢□P = ◇￢P, ￢◇P = □￢P
ね.
で, あなたが言っていることは要するに (0^0 が定義されているという前提だけど)
lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ￢□(0^0 = 0),
つまり
lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ◇￢(0^0 = 0) = ◇(0^0 ≠ 0).
これそのものは正しいんだけど, いったいどのくらい意味があるんでしょうね. 結論を日本語でいうと「0^0 は 0 でなくてもよい」だから, ちょっと考えればわかるけど「0^0 = 0」は否定してません.
ひょっとしたら, 論理学からやりなおしてもらった方がいいんじゃないかという気がする.

お礼

＞lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ￢□(0^0 = 0),
＞つまり
＞lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ◇￢(0^0 = 0) = ◇(0^0 ≠ 0).

私が言いたいことと（多分）一致しています。

＞結論を日本語でいうと「0^0 は 0 でなくてもよい」だから, ちょっと考えればわかるけど「0^0 = 0」は否定してません.

この質問では、「0^0 = 0」は否定してません.
私の主張は、lim[y→0]0^y=0だけども0^0は0でなくてもよい、です。
0^0≠0は、その４の質問で行う予定ですので、お待ちください。

ありがとうございました。

回答No.9

myda

たぶんP=0 or 1だから，どっちかに限定してみます．

大前提としてlim 0^y=0とします.

ここからは非常に気持ち悪いのですが．．．．．
(@1)「(0^0=0)ならば(0^yはy→0で0^0に収束する)」は真
(@2)「(0^0=0)ならば(0^yはy→0で0^0に収束しない)」は儀
(@3)「(0^0=1)ならば(0^yはy→0で0^0に収束する)」は儀
(@4)「(0^0=1)ならば(0^yはy→0で0^0に収束しない)」は真

となりますね．だから，Pの値によってlim[y→0]0^y≠0^0が成立するかどうかは決まるので，このままじゃあ命題にはなりません．

ついでに，「lim[y→0]0^y≠0^0」を使って0^0=1を示したいとき，0^0=1を仮定しないとこの等式(？)は成立しないので，循環論法になってしまってNGだと思います．

あと，「lim[y→0]0^y≠0^0」の意味は通常，「0^yは発散するor振動するor0^0以外の値に収束する」なんですけど，この捉え方で良いですか？

補足というよりもお願い：
できれば質問で何を仮定して何を主張したいのかを明確に書いていただけると助かります．主張はわかるんですけど，いつも何を仮定してるのか？わかんないので．今回も，仮定がわかんないんです．「lim 0^yが収束して，かつ0^0が特定の値を持つ」が仮定なのか，「0^0が特定の値を持つ」だけが仮定なのか

お礼

No.10によると、私の命題は次のようになるそうです。
lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ◇(0^0 ≠ 0).
私の主張は、lim[y→0]0^y=0だけども0^0は0でなくてもよい、です。

＞「lim[y→0]0^y≠0^0」の意味は通常，「0^yは発散するor振動するor0^0以外の値に収束する」なんですけど，この捉え方で良いですか？

合ってます。
発散、振動はしませんから、0^0以外の値に収束する、になります。

＞「0^0が特定の値を持つ」だけが仮定なのか

こちらです。「仮定」という単語の前には、「0^0が値を持つ」としか書いてませんので、「lim 0^yが収束して」は仮定ではありません。
lim0^y=0は証明する事柄でしょうが、ほとんどの方はそれを信じているようです。

その４で質問しなおしていますから、そちらも参照してください。

ありがとうございました。

回答No.8

Tacosan

「lim[y→0]0^y=0 ⇒ 0^0=0」
が命題だというなら, その真偽は? そしてその根拠は?
ちなみにここは数学なので「0^0 = 0」は「0^0 が 0 ＊になる＊」ではなく「0^0 は 0 ＊である＊」ということを, そしてそれを否定すると「0^0 が 0 とは定まらない」ではなく「0^0 が 0 と等しくない」ということを意味するのはよいですね?

お礼

＞「lim[y→0]0^y=0 ⇒ 0^0=0」
＞が命題だというなら, その真偽は? そしてその根拠は?

偽です。根拠は、この質問なんですが…
それが違うというなら、質問に書いた、一連の式の変形で誤りを見つけてください。

私が言っているのは、
x+y=1,x-y=1 ⇒ y=0 は真
x+y=0 ⇒ y=0 は偽
というのと同じことです。
つまり、lim[y→0]0^y=0 だけでは、0^0=0 という結論にはなりません、ということなんですが…

「0^0 は 0 ＊である＊」の否定は「0^0 が 0 と等しくない」です。

ありがとうございました。

回答No.7

Tacosan

0^0 が値を持つと仮定しても, その値を指定しなければ
「lim[y→0]0^y=0 ⇒ 0^0=0」
というのは命題ではない (「0^0 の値」を決めれば真偽が決まるので, 一階述語論理の枠組みで考えることは可能).
ちなみに「これを命題とする」かつ「これが真ではない」というなら, 当然にこの命題が偽である, すなわち (前件は真でありかつ) 0^0 ≠ 0 (0^0 は 0 ではない) と言っているのと等価なんだが, なんでそこに気付けないのか.
もちろん, 無理に書けば
lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ◇0^0=0
と書ける.

お礼

＞「lim[y→0]0^y=0 ⇒ 0^0=0」

これはlim[y→0]0^y=0が0^0=0の十分条件であることを表していると思いましたが、違いますか？
＃実際には、それでも未定義だと言っているので、十分条件ではないようですが…

値を指定しなければ命題ではない、ということの意味が分かりませんので、もう少し詳しく説明ください。
ちなみに、lim[y→0]0^y=0が右極限値で考える限り真であることは、合意ができていると思います。
この命題の対偶は、次の通りで、同じことを表します。
0^0≠0 ⇒ lim[y→0]0^y≠0
これも命題じゃないですか？

＞lim[y→0] 0^y = 0 ⇒ ◇0^0=0

◇は初めて見るので、そういう記号は説明（あるいは参照URL）を示した上で使っていただけるとありがたいです。
#wikiの数学記号には見つかりませんでした。

ありがとうございました。

回答No.6

33550336

お久しぶりです。

すいません、質問の趣旨がよくわからないのですが…

0^0が値を持つ

という仮定のもと、示したい結論は、

lim[y→0]0^y≠0^0

でいいのでしょうか？

＞この結果を見て、P=0を主張される方がいますが、それは誤りではないかと感じました。
＞私の主張は、Pの値つまり0^0は、上記極限値とはまったく別に決めることができる、ということです。
＞
＞この考えに、問題はあるでしょうか？

この考えに問題はありませんが、というより誰もP=0とは主張してないと思いますが…
結論はまだ示せてませんよね？
できれば続きをお願いします。

お礼

＞この考えに問題はありませんが、というより誰もP=0とは主張してないと思いますが…

問題がなければいいんです。
特に、指数法則を使っているあたりに、たとえば0の指数には成り立たない、などと反論があるんじゃないかと心配したもので。
反論がないと判断できれば、続きを始めたいと思います。
＃それまでに、なるべく考えをまとめます。

ありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

0^y が y<0 で定義できないので, lim[y→0] 0^y は自動的に右極限をとるはずです＞#4. じゃないと lim[x→0] √x が計算できない.
それはさておき, ほとんどの人は
「0^0 = 0」
と主張していないと思う. つまり, あなたが「誤りではないかと感じた」対象は, そもそも存在していないのではないかなぁ.
以下おまけ:
よ～するに
「0*P = 0」
という式になったんだけど, そこからどうして「P は 0 でない」と言えるのか. そこは脈絡ないだろ～.

お礼

＞「0^0 = 0」と主張していないと思う.
＞つまり, あなたが「誤りではないかと感じた」対象は, そもそも存在していないのではないかなぁ.

私は、今回の論理を、x^yにも広げようとしています。
もし0^yの場合を認めていただけるなら、あとの証明が楽になります。
その時に、ここに戻らなくて済むなら、いいのですが…

＞そこからどうして「P は 0 でない」と言えるのか.

「P は 0 でない」と「P は 0 とは決まらない」は別のことだと思います。
私の主張は、後者です。
lim[y→0]0^y≠0^0
この式は、＝とは言えない（同じ意味じゃない）という意味で書いちゃいましたが、これを0^0が0ではないと感じられたのなら、訂正いたします。
lim[y→0]0^y=0 ⇒ 0^0=0
という命題は真ではない。これでどうでしょ？

ありがとうございました。

回答No.4

myda

ごめんなさい，この質問の主張がわかんないんですけど．．．．．

[仮定]0^0が存在しその値をPとする
ですよね？

ということは，
lim[y→0]0^y=0^0=P・・・・・(#)
が成立．一方，「質問欄の式」から，(y→0を省略して書くと)
lim 0^y=P*lim 0^y
となる．これに(#)を代入するとP=P^2だからP=0 or 1

という結論しか出てきませんが．そもそも，#2,#3で言われていることは非常に重要だと思いますよ．そもそも，0^yが収束(⇔limが存在)すると仮定するなら，右極限と左極限の一致が一致しなくてはならず(そもそも左極限の計算ができないと思いますが)，右極限を計算してみると，
0^0=lim[y→+0] 0^y=lim[y→+0] 0=0
となり，0^0はゼロにしかならなくなりますが．．．．．

お礼

＞ということは，
＞lim[y→0]0^y=0^0=P・・・・・(#)

これの否定が、そもそもの主張なんですが…

＞これに(#)を代入するとP=P^2だからP=0 or 1

ですので、これは成り立ちません。

＞そもそも左極限の計算ができないと思いますが

これは問題にしていません。
それで片が付く問題ではありませんので…

＞0^0=lim[y→+0] 0^y=lim[y→+0] 0=0
＞となり，0^0はゼロにしかならなくなりますが．．．．．

0^0とlim[y→+0] 0^yは別々の値です。（違う値という主張じゃありませんが）
よって、0^0=0は、これでは求められません。

ありがとうございました。