０の０乗は１、にしたい（その４）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html -- 続き
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4375134.html -- その３
の続きです。

0^0を極限値から求める方法について考える。
候補は、次の３つである。（右極限値のみ考える）

(1)lim[y→+0]0^y
(2)lim[x,y→+0]x^y
(3)lim[x→+0]x^0

(1)について、lim[y→+0]0^y=0である。しかし、P=0^0と置くと
lim[y→+0]0^y
=lim[y→+0]0^(0+y)
=lim[y→+0]0^0*0^y
=lim[y→+0]P*0^y
=P*lim[y→+0]0^y
=P*0=0
つまり、この極限値は0^0の値とは関係なく0となるので、0^0は決定できない。

(2)について、極限値lim[x,y→+0]x^y=Lが存在するとは、
任意のεに対して δx,δy を適当に選べば、次のことが成立することである。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, 0< x-0 <δx, 0< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε
ところが、x→0の値とy→0の値は異なるため、次の様に修正を行う。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, δx/2< x-0 <δx, δy/2< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε

(x/2)^y=x^y*(1/2)^y≒x^y (|y|≪1)
x^(y/2)=√(x^y)
であるので、任意のεが存在するためには、L=0またはL=1でなければならない。
しかし、x>0, y>0 であれば x^y>0 であるので、L=1 である。

(3)について、lim[x→+0]x^0=1であり、
lim[x→+0](x+y)^0=1
も任意のy∈Rで成り立つ。つまり、(1)のような問題はない。

また、xの逆数（乗法の逆元）について
(A)x*x^(-1)=x^1*x^(-1)=x^(1-1)=x^0=1
(B)1=□*xの□を1/xと表す
という２つの意見があり、xの逆数はx^(-1), 1/xの２つがある。（続きの#49）

(A)と(B)で定義される逆数が等しければ、
x^(-1)=1/x
これがx=0^0でも成り立つとすると、
(0^0)^(-1)=0^(0*(-1))=0^(-0)=0^0=1/0^0
よって、0^0=1である。

いずれも、0^0=1を否定しないか、それを肯定しています。
この考えに、問題はありますか？

回答No.14

arrysthmia · ベストアンサー

←No.12 補足
＞ これも、理由は「未定義」だから、なんでしょ？
＞ そして、「連続でない」から「未定義」なんですよね。
＞ それとも、常識または慣例だから「未定義」なんでしょうか。
＞ それとも、定義すると不便だから「未定義」なんでしょうか。

私が「未定義」を推す理由は、
第一に「定義すると不便だから」であり、
また、「常識または慣例だから」でもある。

間違っても、「連続でない」ことから「未定義」であることが
導けるなどとは、言っていない。そんなことは、できようもないし、
むしろ、そんなことはできないのだ　というのが、
私が君に強く訴えたい点だ。

「連続でない」から「定義すると不便」であり、そのことが、
「未定義」としたい理由にはなっているが。
あくまで、主観的な判断である。

＞ 私としては、「0^0≠1 を導くことができる」が導けないのであれば
＞ 十分なのですが…

この辺の行間に滲む、0^0=1 がどこかから導ける　という発想が
根本的な間違いである　と考えている。

0^0=1 と定義した、べき乗の別バージョンには、それなりの使い勝手
があり、そうのようなものを定義する意義は否定しない。
そのことは、(その１) No.10 から一貫して述べている。
変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と
正直に告白すればよいのだ。Knuth のように、同じ趣味の人もいるだろう。
特殊な、個人的な趣味の話なのだ　ということを忘れなければ、
問題は無い。

証明できる事実は、自然数 y について、掛け算の反復で素朴に定義した
x^y と一致し、任意の実数 x,y について連続かつ指数法則を満たすような
２変数関数 x^y は存在しない　ということだけだ。

そこから出発して、
0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
を定義する立場もあれば、
y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
を定義する立場もある。

両者は、違うものを「べき乗」と呼んでいるだけで、
どちらかが間違っているというものでもない。
ただ、一方の定義は普及しており、もう一方は「オレ流」である
というだけの話だ。
「べき乗」を２種類定義すること自体、煩瑣で不便だとは思うが…

「オレ流」の選択を普及させるための活動として、それが
何かの方法で証明できる事実であるかのように語るのは、不正直である。
君の不正直な語り口が気に入らないことは、Wikipedia の誤引用による
情報操作 (その１) No.26 の時にも述べた通りだ。

お礼

違いがはっきりしてきましたね。
さらに問いたいのですが、べき乗は２種類ではありませんか？

＞0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
＞を定義する立場もあれば、
＞y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
＞を定義する立場もある。

0^0を定義せず、定義域はx>0, y∈Rで、指数法則を満たし、連続な関数と、
0^0を定義し、定義域はx∈R, y∈Zで、指数法則を満たし、不連続な関数（多価を許せばyは有理数に拡張可能）と、
２つの関数を合成したものが、べき乗であると言えませんか？

２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが、定義域が部分集合の関係になっておらず、１つめの関数を無理に拡張すると、奇妙なことが起こります。
たとえば、(-1)^1は-1ですが、これは連続性を満たしていません。
0^0に値があるのに、連続でないのは、(-1)^1と同じ理由かもしれません。

＞私が「未定義」を推す理由は、
＞第一に「定義すると不便だから」であり、
＞また、「常識または慣例だから」でもある。

念のために確認しますが、何が不便なのでしょう。
「不連続だから」に戻りませんか？
それ以外の実例を示してもらえたら、分かり易いのですが…

＞変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と

そうかもしれませんね。
でも数学は、その主観を認め合うものじゃありませんか？
計算は１０進数でするのが常識です。
でも、２進数も認められます。
認められるかどうかの基準は、それが矛盾を含んでいないかどうかだけです。
記号や関数の定義など、常識は作られますが、それは理論とは、何の関係もありません。

今回の場合は、べき乗をどう定義するか、という問題を含んでいますから、それは実用的で便利なように定義すれば良いでしょう、１０進数を選んだように。
でも、こういう仮定ではこうなりますか？という質問に、その仮定は常識から外れていると答えるのは、止めて欲しいですね。

ありがとうございました。

補足

お礼の誤記を訂正します。

＞２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが

デルタ関数ではなくて、ガンマ関数でした。
No.17で引用されてますが、こちらもガンマ関数です。

話は通じているようですが、すみませんでした。

回答No.18

Tacosan

う～ん,
「たとえば、ある値より小さければＡという性質、大きければＢという性質があるとします。その時、ある値での性質は、ＡでもＢでもないＣという性質を求めるのが正しい気がするのです。逆に、Ｂ＝Ｃが判明したら、Ａ＝Ｃも成り立って欲しい。」
というのはよくわかんないなぁ.... 「正しい『気がする』のです」とか, 数学ではないところを持ち出してもしょうがないんだけど.
で, その気持ちからして単位ステップ関数
u(t) = 1 for t ≧ 0, 0 for t < 0
は正しくない, と.
もちろん必要なら
f(0, k) = 0 for all k
f(a, 0) = 1 for all a except for 0
と定義するだけだけどね.

お礼

感情に訴えているようでしたので、「正しい『気がする』のです」という返答を致しました。

単位ステップ関数については、u(0)=0.5の方が正しい気もする（周波数変換後の値に一致する）のですが、計算のために、そのような簡略化が行われているのだと思っています。

時間には方向があるから、０以上と０未満に分けますが、これが位置なら、計算し易いように、決め方も色々でしょうね。

ありがとうございました。

回答No.17

arrysthmia

←No.15 補足
＞ 想像が難しいので、その拡張した関数で(-1)^1の値を求める過程を示してもらえると嬉しいのですが…

階乗をガンマ関数で拡張する話をしておられたが、その類似で言えば、
べき乗を x^y = exp( y log x ) で定義する方法がある。
log は、log x = ∫[0≦z≦x](1/z)dz で定義し、exp は、log の逆関数とする。
この定義で、y が有理数の場合は、乗算の反復によるべき乗の定義と一致し、
(0,0) を除く複素数 (x,y) の組について正則となる。
多価関数となり、y が整数でないときは複数の値を持つが、
各点の近傍で、局所的に正則な「枝」の集まりとして表せる　という意味で、
「多価関数として正則」である。同じことを、
１価の正則関数の解析接続として表せる　と言ってもよい。
「正則」は、任意回微分可能ということだから、連続性も従う。

＞ 普及させるような活動などしていませんよ。

それは、結構なことだ。

(その１) No.15 補足
＞ 誤解しています。１以外に有り得ないという主張です。
＞ 私の主張は０＾０が不定ではなく１という固有の数値になることです。

(その１) No.9 補足
＞ ならせめて、不定であるのが常識的な理由を説明してください。

(その１) No.17 補足
＞ 日本のページとニュアンスがだいぶ違いますね。
＞ たとえば：

(その１) No.25 補足
＞ もしかしたら、日本の常識が世界とは違う可能性がある、とは思いませんか？

(その１) No.24 補足
＞ 私の主張は、「０＾０が１以外の数になることができない」です。
＞ 特に、０＾０＝０に矛盾がないと思っている人がたくさんいます。
＞ 不定とする人はおそらく、その認識がないと思われます。

などが気になっていたので。

＞ 私は、x^yの性質を調べていただけですけど。
＞ 相当複雑な振る舞いをしますから。

y を自然数に制限するのなら、x^y がやっかいな挙動をする部分を
定義域から取り除いたことになる。それなら、0^0=1 で問題なく話が進むが、
その簡潔さを保ったまま、y を全実数まで拡張することはできない。

お礼

＞log は、log x = ∫[0≦z≦x](1/z)dz で定義し、

xは複素数ですから、0からxまでのどんな経路で積分しても良く、ここから多価性が出てくるということですね。
別なx'についての値と比較する場合は、同じ経路という概念は作れなくて、値の集合同士が１対１対応することを利用するのですね。

＞この定義で、y が有理数の場合は、乗算の反復によるべき乗の定義と一致し、
＞(0,0) を除く複素数 (x,y) の組について正則となる。
＞各点の近傍で、局所的に正則な「枝」の集まりとして表せる　という意味で、
＞「多価関数として正則」である。

y は実数、あるいは複素数ですので、せめて無理数でも正則になることを示してもらえませんか？
yが無理数の場合、x^y は値が定義できないと思いますが…
つまり、有限個の「枝」の集まりが正則という主張があったとして、それが有限でない「枝」の集まりに適応できるかに疑問があります。

そして、近傍にはx^y の値が定義できない点が必ず含まれるのに、それを含めて連続であるという主張の意味が、まだ理解できません。

＞y を自然数に制限するのなら、x^y がやっかいな挙動をする部分を
＞定義域から取り除いたことになる。それなら、0^0=1 で問題なく話が進むが、
＞その簡潔さを保ったまま、y を全実数まで拡張することはできない。

そうですね。
これは認めてますから、「一般的には未定義」も認めています。
連続性も証明し、簡潔さを保ったまま拡張できないか、と考えていた訳ですが、それと0^0=1の主張はまったく別物です。

「実数なら成立しない」、「整数なら成立する」となった時、「一般には未定義」とすることに違和感はありません。
ところが、「整数なら成立する」が正しいですか？という質問に、「実数なら成立しない」という回答ばかりが来ていたんです。
＃もちろん、「実数でも成立する」という主張もしていたんで、混同されるのは無理ないんですが…

「一般的には未定義」という結論ばかりの人も多かったですから、
＞＞ もしかしたら、日本の常識が世界とは違う可能性がある、とは思いませんか？
という主張も必要になってきました。
必要な回答が得られなかったので、誘導を行ったのですが、それが失礼であったなら、謝罪いたします。

ありがとうございました。

回答No.16

Tacosan

微妙なところではありますが,
x % p = (a % p)^(n % (p-1)) % p
とするのに「フェルマーの定理を使った」とも「フェルマーの定理は使っていない」とも言えなくはないです＞#13... が, 使わない方が適用可能な範囲が広いので「使っていない」ことにしておこう.
素数 p と任意の a に対し a^p ≡ a (mod p) はフェルマーの定理を使わず証明可能です. このことから, k が p-1 の倍数でなければ任意の a に対し
a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p)
です. また, a が p の倍数でなければ k に対する条件を外すことができます.
で, #10 で言いたかったことの主眼は
「だから, 0^0 ≡ 0 とすると, a や k に対する条件を全く考慮することなく a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p) と書けて簡単じゃね?」
です.
もうちょっというと, 2変数関数 f(a, k) は「a = 0 かつ k ≦ 0」のところを除き定義されていて,
(1) f(ab, k) = f(a, k) f(b, k)
(2) f(a, k+l) = f(a, k) f(a, l)
(3) f(a, k) は k に関し周期 N で周期的
(4) f(a, 0) = 1
(5) f(0, k) = 0
という条件を満たしているものとします. ここで定義域を a = k = 0 まで拡張させることを考えたときに, f(0, 0) = 1 と定義すると (1), (2), (4) を満たし f(0, 0) = 0 と定義すると (1), (2), (3), (5) を満たします. なんとなく f(0, 0) = 0 ってしたくないですか, ってことで.

お礼

＞もうちょっというと…
＞なんとなく f(0, 0) = 0 ってしたくないですか, ってことで.

この部分についての感想を言います。
f(0, 0) = 0にしたくないです。
理由は、ｋ＜０では、性質が変わるからです。

たとえば、ある値より小さければＡという性質、大きければＢという性質があるとします。
その時、ある値での性質は、ＡでもＢでもないＣという性質を求めるのが正しい気がするのです。
逆に、Ｂ＝Ｃが判明したら、Ａ＝Ｃも成り立って欲しい。
（つまり、Ａ＝Ｂ＝Ｃですが…）

具体例として、絶対値の傾きは、負の時は－１、正の時は１ですが、０では不定（未定義？）です。
ｘ＾２の傾きは、負の時は負、正の時は正、０では０です。
中央の値には、これらのように別の性質を持たせたいです。

ありがとうございました。

回答No.15

arrysthmia

←No.14 補足
＞ たとえば、(-1)^1は-1ですが、これは連続性を満たしていません。

中途半端に「定義域はx>0, y∈Rで」と拡張しようとするから、
(-1)^1 での連続性に気が付かないだけで、
x^y の x,y を複素数とすれば、(x,y)=(0,0) 以外の全域で、
複素多価関数の意味では、正則となる。

＞ でも、こういう仮定ではこうなりますか？という質問に、
＞ その仮定は常識から外れていると答えるのは、止めて欲しいですね。

言いたいこともあるだろうが、他人の話もたまには聞こう。

A No.14
＞ 0^0=1 と定義した、べき乗の別バージョンには、それなりの使い勝手
＞ があり、そうのようなものを定義する意義は否定しない。
＞ そのことは、(その１) No.10 から一貫して述べている。
＞
＞「オレ流」の選択を普及させるための活動として、それが
＞ 何かの方法で証明できる事実であるかのように語るのは、不正直である。
＞
というのが、私の回答だ。

＞ 何が不便なのでしょう。
＞「不連続だから」に戻りませんか？
＞ それ以外の実例を示してもらえたら、分かり易いのですが…

「不連続だから」「定義すると不便」というのが、私の基本的な姿勢。
他の理由は、特に必要ないように思う。
不連続性というのは、単に lim[(x,y)→(0,0)] x^y が収束するか？という
(x,y)=(0,0) の一点上での話ではなく、指数法則が成り立つことのシワヨセから、
x^y は、(x,y)=(0,0) の近くでは、相当複雑な振る舞いをするようになっており、
そのことを認識して使わなければ、べき乗を使用するのは危うい　ということを
言っている。

0^0=1 が定義されていると、ついウカウカと (x,y)=(0,0) の近くでも、
x^y について、他所と同様の取り扱いをしがちだが、未定義であれば、
自動的に毎度注意深く扱わざるを得ない。そこがイイ、という話だ。
0^0 が如何に特殊かといって、既に何度も出てきているように、
0^0=1 と定義すれば、0^x に x=0 を代入することすら不用意にはできない。
そういうゴタゴタを、いちいち覚えておくことが、不自由で醜い
と感じている訳だ。

お礼

＞x^y の x,y を複素数とすれば、(x,y)=(0,0) 以外の全域で、
＞複素多価関数の意味では、正則となる。

想像が難しいので、その拡張した関数で(-1)^1の値を求める過程を示してもらえると嬉しいのですが…
極限値も存在しますか？

＞「オレ流」の選択を普及させるための活動として、それが
＞ 何かの方法で証明できる事実であるかのように語るのは、不正直である。

普及させるような活動などしていませんよ。
それとも、0^0=1に矛盾がないことを示そうとしたことが、未定義の常識を否定しているように見えましたか？
私は、x^yの性質を調べていただけですけど。
相当複雑な振る舞いをしますから。

＞「不連続だから」「定義すると不便」というのが、私の基本的な姿勢。

すべてが不連続に基づくことですね。安心しました。

ありがとうございました。

回答No.13

aiueo95240

No.10 Tacosanさんの回答で。
>以下 m%n は「m を n で割った余り」です.
>x % p = (a % p)^(n % (p-1)) % p
>ところが, 0^0 = 1 としてしまうと結構面倒なことになります (p|a かつ (p-1)|n だと a%p = 0, n%(p-1) = 0 だから右辺は 0^0 = 1 となるが, この場合 p|x なので x%p = 0).
>これは実質的に「0^0 = 0」と置いたのと同じ.

x % p = (a % p)^(n % (p-1)) % p
という式では、フェルマーの小定理を使っていると思いますが、
フェルマーの小定理の前提は、
底のa は p の倍数でない整数（a と p は互いに素）
です。
なので、後半の記述、特に「0^0 = 0」は無意味と思いますが。

回答No.12

arrysthmia

←No.11 補足
＞ ・0^0=1を導くことができる
＞ ・0^0を未定義とする議論を否定できない
＞ 両方とも了解しました。

「0^0=1 を導くことができる」こと自体からは、
「0^0≠1 を導くことができない」ことは導けない。
「0^0=1 を導くことができたから 0^0=1 だ」
と言える為には「0^0 が値を持つ」ことが必要で、
それが仮定でしかないうちは、0^0=1 も仮定でしかない。

繰り返し「循環論だ」と言っているのは、そのことだ。

お礼

＞「0^0=1 を導くことができる」こと自体からは、
＞「0^0≠1 を導くことができない」ことは導けない。

これも、理由は「未定義」だから、なんでしょ？
そして、「連続でない」から「未定義」なんですよね。
それとも、常識または慣例だから「未定義」なんでしょうか。
それとも、定義すると不便だから「未定義」なんでしょうか。

私としては、「0^0≠1 を導くことができる」が導けないのであれば十分なのですが…

＞「0^0=1 を導くことができたから 0^0=1 だ」
＞と言える為には「0^0 が値を持つ」ことが必要で、
＞それが仮定でしかないうちは、0^0=1 も仮定でしかない。

私の興味の対象は、「何故未定義なのか」です。
その答がWikipediaでは不十分だから質問しました。
0^0=1が仮定だとしても、十分な情報です。
＃Wikipediaも若干修正できたし…

あなたにとっては、未定義であれば、その他の知識は意味ないみたいですね。

ありがとうございました。

回答No.11

arrysthmia

←No.8 補足
＞ 未定義に対しては、どんな計算もできないと考えるしかないです。

正解。それが、0^0 を未定義とすることの最大のメリットだ。
未定義の値については、何の操作もすることができないから、
例外的なことの沢山起こる 0^0 について、沢山の注釈を
いちいち付ける必要がなくなる。

x^y を扱っていて、(x,y)=(0,0) が出てきたら、
変なことが起こり得るから注意する
というのが、0^0 未定義派の基本的な姿勢だ。
多くの定理に 0^0 に間する注釈を付記するより、遥かに簡潔
であると思う。

＞ 0^0が値を持つという立場なら、(0^0)^(-1)は計算できます。

それは、勘違い。貴方の一連の議論が、
「0^0 が 0^0=1 となるような値を持つならば、0^0=1 である」
という循環論に過ぎないことは、指摘済み。

＞ x^(-1)=1/x
＞ がx=0以外では成り立つということですね。
＞ では、その式を使って計算した、0^0=1はどうですか？

その発想の誤りには、前の (2) との共通点がある。
存在しない値について、方程式を解いても意味が無い。
方程式からの式変形は、必要条件に過ぎないからだ。

0^0 が他の法則（連続性を含む）と矛盾しない値を持つならば、
x^(-1)=1/x から 0^0=1 を導くことができるが、その考察は、
0^0 を未定義とする議論を否定できない。
0^0=0 くらいは否定できるけれども、そんな話は
誰も支持していないので、わざわざ否定して見せるまでもない。

お礼

＞x^y を扱っていて、(x,y)=(0,0) が出てきたら、
＞変なことが起こり得るから注意する
＞というのが、0^0 未定義派の基本的な姿勢だ。

ここの考え方が違うのですね。
連続性については、変なことが起こることは了解です。
実際、色々やっても、結局変な結論しか出なかったようですし。
でも、整数を扱う限り、変なことは起こらないじゃないですか。（No.10を除く）
値さえ決まってしまう。そこが、0/0との最大の違いです。
連続性がない限り、未定義は未定義でいいのですが、面白い性質ですよね。

＞x^(-1)=1/x から 0^0=1 を導くことができるが、その考察は、
＞0^0 を未定義とする議論を否定できない。

・0^0=1を導くことができる
・0^0を未定義とする議論を否定できない
両方とも了解しました。

ありがとうございました。

回答No.10

Tacosan

もちろん罠があるに決まってる (笑)
以下 m%n は「m を n で割った余り」です.
素数 p, q に対し N = pq とおいて, x = a^n % N を計算したいとします.
n = 0 のときはとりあえず a に依存せず x = 1 にしてみましょう.
問題は n ≠ 0 のときで, このときに 0^0 = 0 とおいてあれば
x % p = (a % p)^(n % (p-1)) % p
x % q = (a % q)^(n % (q-1)) % q
から Chinese Reminder Theorem で x が計算できます. ところが, 0^0 = 1 としてしまうと結構面倒なことになります (p|a かつ (p-1)|n だと a%p = 0, n%(p-1) = 0 だから右辺は 0^0 = 1 となるが, この場合 p|x なので x%p = 0).
もちろん, この場合にはわざわざ計算するまでもなく「底が 0 だから指数に関係なく結果は 0」とすればいいんですが, これは実質的に「0^0 = 0」と置いたのと同じ.

お礼

これより簡略化されている他の回答にお礼を書きました。

この回答自体は、まだ理解できない部分がありますが、ご容赦ください。

ありがとうございました。

補足

連続性に関する(1),(2),(3)については、追加のアイデアがある訳ではないので、現状で証明できていないと言われるなら、それを認めます。

指数法則については、この質問に限り、0^0にも適応できると仮定します。
指数法則は，次の３つとします。
1.a^(x+y)=(a^x)*(b^y)
2.a^(xy)=(a^x)^y
3.(ab)^x=a^x*b^x

1.より
0^0=0^(0+0)=0^0*0^0
∴0^0=1または0^0=0

2.より
0^0=0^(-0)=0^(0*(-1))=(0^0)^(-1)
両辺に0^0を掛けて
(0^0)^2=1
∴0^0=1または0^0=-1
注）0^0=0では、0^0は(0^0)^(-1)と一致しないので排除する。

２つの結果を合わせると、0^0=1である。
なお、指数法則を仮定したので、それが未定義であれば、この結論は適応できない。
つまり、指数法則を0^0に適応するには、0^0=1でなければならないことは言える。

当面、この結論に絞って回答してくれることを希望します。

No.10のお礼については、しばらくお待ちください。

回答No.9

orcus0930

No2です。

>指数法則の説明で、0^0に対して成り立たないと明記されているのは見たことありません。

あたりまえです。指数法則は0^0をのぞいて定義されているんですから、こんな記載があるわけないでしょ。
定義されてない数に対して法則定義して何の意味がある

>0^0=1しかありえない、ということも肯定してもらえますか？

しませんよ？　するわけないでしょ
a^1=a
a^(p+q)=a^p*a^q
で定義すれば、0^0はどんな値でも取れるわけだし。
状況によって１にしたり不定にしたりすればいい。未定義だから、状況によって、決めちゃえばいいのよ。
実際俺も、プログラム書くときとかは、0^0=1を前提にしてるしね。
クヌースの話は前に出てた気がするな

第一、今回の議論は極限を出しているが、0^0への極限値が0^0の値になるのは、
(1)0^0がある値を持つ
(2)x^yが0^0で連続である
この2つは満たしてないとね。
(2)のときに、その2のような変な議論は持ち出さないでね
ちゃんと示してね。

>0^0*0^0=0^(0+0)=0^0
指数法則使ってますね。
示してくださいね。

これまでのように「感覚」とか「こうなりそう」なんてのは今回はやめようね。
論理立てて証明をして行ってくれ。

お礼

＞指数法則は0^0をのぞいて定義されているんですから、こんな記載があるわけないでしょ。

つまり、定義されていない数だから、法則も定義されていないということですね。

では、
・0^0が定義されている
・指数法則が0^0にも適応できる
と仮定すると、0^0=1が求まる、ということは認めますか？

ありがとうございました。

回答No.8

arrysthmia

←No.5 補足
＞ まず、xの逆数は何だと思いますか？x^(-1)？1/x？

その二つは、式が違うだけで、値は同じ。
x≒0 であれば、どちも「x の逆数」を表す。
x=0 のときは、どちらも定義しない。

その３ No.11 補足
＞ さすがに、0^(-1)は未定義とするべきでしょう。

と書いていたのは、誰だったか。
では、x が未定義であるときには、x^(-1) は、どうあるべきか。

お礼

＞その二つは、式が違うだけで、値は同じ。

x^(-1)=1/x
がx=0以外では成り立つということですね。

では、その式を使って計算した、0^0=1はどうですか？

＞では、x が未定義であるときには、x^(-1) は、どうあるべきか。

未定義に対しては、どんな計算もできないと考えるしかないです。
0^0が値を持つという立場なら、(0^0)^(-1)は計算できます。

ありがとうございました。