1/6の公式などに関するドキュメント希望（受験数学？）

質問

開いていただいてありがとうございます。

今まで受験テクニックなんかとは無用な不器用な受験生だったのですが、積分の面積計算を行っていたところ「1/3の公式」「1/6の公式」「1/12の公式」なるものの存在を知らされました。
面倒な計算が簡単に済むのなら早速使ってみようじゃないかと思ったのですが、公式の利用法や使用できる条件、証明などが詳しく記されているドキュメントを見つけることができません。公式の名称が検索エンジンと相性が悪いためにネットでの確認もおぼつかなく、またこれらの呼び名は俗称なのか、書店で参考書をあさっても確認が取れませんでした（もっとも田舎の書店なので蔵書量はたかがしれていますが）。
二次方程式と直線で囲まれた部分の面積を計算する際に非常に便利とのことですが、これらについて詳しく扱っているドキュメントを紹介していただけませんか？
またこれらの公式は、答案において「1/6の公式より――」などと書いて解答と見なしてもらえるようなたぐいのものでしょうか？
遅ればせ受験組につき頼れる相手がいませんので、ご教示いただければ幸いです。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

大して複雑な計算ではありません．
わざわざ文書にするほどもないでしょう．
基本は部分積分．

n,mを0以上の整数として
∫_a^b (x-a)^m(x-b)^n dx = I(m,n)
とおくことで，
部分積分で，I(m,n) = -n/(m+1) I(m+1,n-1)
となることが示せるので，これを繰り返せば
I(m,n) = (-1)^n n!m!/(m+n)! I(m+n,0)
= (-1)^n n!m!/(1+m+n)! (b-a)^{1+m+n}

I(1,1) = -1/6 (b-a)^3
I(1,2) = 1/12 (b-a)^4
I(2,1) = -1/12 (b-a)^4
I(2,2)= 1/30 (b-a)^5

特に名前があるわけではないでしょう．
覚えておいて損がないのは
n!m!/(1+m+n)! の係数だけ．
値の正負はグラフをかけば分かるし，
(b-a)の次数は積分するんだから，被積分関数の次数+1．
答案だったら，計算すること自体を要求されてる問題でなかったら
何も書く必要はないでしょう．

この手の式で便利なのとしては
J(m,n)=∫sin^m(x)cos^n(x) dx 積分区間は[0,π]または[0,π/2]
なんてのもあります．

お礼

ありがとうございます。
ただでさえ大学入試の数学はしちめんどくさくてイライラしているので、必要な知識は十分にあるのですから、必要になるかどうかも分からない余計なことを覚えるよりも、ややのんびりとした計算速度を上げる方向に全力を費やそうと思います。
しかし自分は文転したので数3Cは範囲外なのですが、その範囲外の世界でこんな公式を提示されて、皆さん理解して使ってるんですかねえ……。

回答No.3

take_5

例え便利な公式があったとしても、教科書に載っていないものは“証明なしで”使ってはいけない。
そして、それは証明をしてまで使うような代物ではないし、受験テクニックなどというものでもない。
こんな事（＝教科書に載ってないものは、証明なしで使ってはいけない）は、当たり前の事。
但し、1/6の公式なるものは、答案には書かずに“検算用”として使うのは構わない。

＞二次方程式と直線で囲まれた部分の面積を計算する際に非常に便利とのことですが

使っても、時間的にも大して違わない。あくまで、答案に書かない“秘密兵器”として使えば良い。

お礼

ありがとうございます。
教科書に載っているかどうか以前に出身校が高専でありまして、自分がこれまでやってきた数学と受験用数学のギャップに困惑しておりまして、便利な裏技というよりも自分が知らないだけの表技なのかと思っておりました^^;
確かにだからどーしたという程度の内容のものでありましたので、時間があったら覚えておいて、検算用として頭の片隅にでも放り込めたら放り込むぐらいに留めておきます。

回答No.1

Tacosan

∫_a^b (x-a)(x-b) dx = (a-b)^3/6
かな? こんな感じのやつを「1/6 の公式」と書いているページはありますね.
とはいえ, 「1/6 の公式」と言われても「なんじゃそりゃ」と返されるのがオチなのでやめておくべきだと思います. 少なくとも「誰もが知っている」というほどではない.

お礼

ありがとうございます。問題と照らし合わせてみましたが、おそらくそんな感じだろうと思います。
高専出身なため通常の高校課程はやや分からない部分があるので、自分だけが知らない世界かと思ったのですが、一般的にもなんじゃそりゃだったんですね。
めんどくさいので見なかったことにしておきますｗ