球面を４回廻ることになる？

質問

半径ｒの円の面積はπｒ＾２で、これを微分（？）すると２πｒとなって円周の長さになるとすると、半径ｒの球体の表面積４πｒ＾２を微分（？）すると８πｒとなりますが、これは球面の上を４回廻るような感じですが、何か直観的な説明は可能なのでしょうか？

回答No.4

Quattro99

> 球を互いに直角をなす二本の大円で区切ると４つの区画ができ、それぞれ面積はπｒ＾２になりますが、この区画をぐるりと一周すると２πｒになるのは偶然でしょうか。

それを偶然というべきかどうかはよくわかりません。
ただ、それは、球の表面積の微分が円周の4倍であるということと全く同じことだと思います。

いずれにしろ、円の面積や球の体積は、rが変化したときにどれだけ増減したのかがはっきり認識できますが（元の円の面積や球の体積に対して単純に足されたり引かれたりするから）、球の表面積はその増減が直感的に認識できるものではないと思います。
円の面積や球の体積の増減が直感的に認識できるという場合の「直感的」とはその増減が図示出来ることに由来していると思います。従って、球の表面積は、円の面積や球の体積の増減の時と同じような直感的な認識は出来ないと思います。
もし、球の表面積についてその増減が何か感覚的に理解できるような考え方があったとしても、それは円の面積や球の体積の増減についての直感的な認識の感覚とは異質のものだと思います。

お礼

平らでない図形の面積は直感では捉えられないということでしょうか。ご教示をありがとうございました。

補足

感謝＞サンクスポイント

回答No.3

quantum2000

No.１さん、No.２さんのおっしゃるとおり、kaitaradouさんの考えていらっしゃる感じの「直感的な説明」はないかもしれません。
敢えて言おうとすると、球の表面積（４πｒ＾２）は、円周の長さが（８πｒ）となっている円の面積に等しい、ということくらいでしょうか。つまり、球の表面積は、その半径の２倍の半径（２ｒ）を持つ円の面積に等しい、ということです。（ですから、４回まわる、というような「直感的」なイメージでは、説明できない気がしますが・・・。）

お礼

感謝＞サンクスポイント

補足

３人のご示唆を基に色々考えたところ、球を互いに直角をなす二本の大円で区切ると４つの区画ができ、それぞれ面積はπｒ＾２になりますが、この区画をぐるりと一周すると２πｒになるのは偶然でしょうか。

回答No.2

springside

アナロジーを考えると、

(1)円の場合
面積πr^2を微分すると2πrとなって、円周の長さになる。

(2)球の場合
体積(4/3)πr^3を微分すると4πr^2となって、表面積になる。

ということなのではないでしょうか。

その意味は、No.1さんのご説明がわかり易いと思います。（球の場合、半径が1大きくなると、体積はだいたい球の表面積×1増えるという感じ。）

お礼

感謝＞サンクスポイント

補足

４πｒ＾２をさらに微分して出てくる８πｒというものは円の面積に対する円周に相当するものになるのではないかということなのですが、球面の場合は１回でなく、４回というのがどういうことなのかと思ったわけです。

回答No.1

Quattro99

rについて微分するということは、rの増減に対して、πr^2などがどのような増減の仕方をするかということです。
半径が大きくなったとき、円の場合、その面積は元の円に大きくなった分だけ足される形になりますから、半径が1大きくなると、面積はだいたい円周×1増えるということでなんとなく直感的と言えるかも知れません。

しかし、球に関しては、増えた分の面積というのが直感的には把握出来ないのではないかと思います。

お礼

直感的には難しいということですね。ありがとうございました。

補足

感謝＞サンクスポイント