位相空間論って？

質問

位相空間論ってどんな内容の分野ですか？

あと、多分関係あると思うんですけど、「ユークリッド空間」っていうのは中学・高校のときから慣れ親しんでる空間の事ですか？
他にどんな空間があるんですか？

こちらは大学１年なりたて程度の知識しかないので易しい言葉で説明してください。

回答No.4

j_euro · ベストアンサー

j_euro ふたたびです。

なかなか興味深い内容になってきてますね。
勉強になります。（って回答者がホンネ言ってどうする）

＞例えばdがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とするとｄ≦Ｍｄ’の定数Ｍの値っていくつになるんでしょう？

んと、(x1, y1) と (x2, y2) の2点の距離でいくと、|x1-x2|=|y1-y2| のときのｄ＝Ｍｄ’じゃないでしょか。

お礼

だんだん分かってきました。
dがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とすると、２次元の場合、点Ｘ(x1, y1) と 点Ｙ(x2, y2) について考えると
　　　　d(x,y) = sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 )　　　　…(i)
　　　　d'(x,y) = max{|x1-x2|,|y1-y2|}　　　　…(ii)
ここでd(x,y) = r (rは定数)と固定して考えると、
　　　　x2 - x1 = r cosθ
　　　　y2 - y1 = r sinθ
と出来て、
　　　　r / √2 ≦ max{|r cosθ|,|r sinθ|} ≦ r
よって
　　　　d(x,y) / √2 ≦ d'(x,y) ≦ d(x,y)
書きかえると
　　　　d(x,y) ≦　√2 d'(x,y)
　　　　d'(x,y) ≦ d(x,y)
これが距離dと距離d'が同値である事の例であり、
> Ｑ４．「dとd'が同値とは常にd≦Md'」とありますが、日本語で「dとd'が同値」と「d'とdが同値」は同じですよね？という事はdとd'を入れ替えても成り立つ訳で、「dとd'が同値とはある定数M,M'があって、つねにd≦Md'かつd'≦M'd」って事になる気がしますがおかしいですか？
に対する答えですね。

こうなってくると他にどんな距離があってユークリッド距離と同値なのかどうかも調べてみたいし、
なぜ「d≦Md'のときd'≦M'd」と言えるのか（これが言えないと同値の定義が出来ませんよね？）も気になりますし、
興味は尽きない所ですが、個人的な事情によりあまりここばかりに執着してるわけに行かないので
尻切れトンボの感は否めませんが、この辺りで閉じさせていただこうと思います。

ご回答下さった皆様、ありがとうございました。

回答No.3

prome

Ａ１．位相空間論⊃位相幾何学？

この包含関係は理屈の上では間違ってはいないかもしれませんが、
数学をやってきた人の感覚では、かなり違うもののように
思います。
位相幾何学はほとんどの場合多様体を対象にしていて、
幾何学的なイメージがありますが（といっても高次元では
イメージングが大変ですが）、
位相空間論はもっと抽象的な空間、図形的イメージがほとんど
ないような、場合によっては奇妙な空間（集合）が対象のようです。
他の大学は知りませんが、私の通っていた大学では位相空間論を
専門に研究しているゼミはありませんでしたし、位相空間論を極める
のはマイナーな感じがします。ブルバキの数学原論に位相空間論
が載っていましたが、全然面白くなかったです。

Ａ２．「位相」ってなんですか？三角関数でθとθ+2nπは位相が同じ
とか言いますが、関係ありますか？

これは物理学者が言う位相で、英語でphase。数学者の位相は
topologyです。全く関係がありません。

Ａ３．距離ｄで収束するとは？

すみません、忘れました。なにぶん10数年前のことなもので。

Ａ４．ｄとｄ’が同値とは？

taropooのおっしゃるのが正解と思います。ただｄ≦Ｍｄ’から逆が
導けたのかな？これも忘れました(_ _)。

補足

Ｑ３の答えは多分分かりました。距離と一言に言ってもユークリッド距離とかマンハッタン距離とかあって、
ユークリッド距離で考えて収束するとか、マンハッタン距離で考えて収束するとか、そう言うのを「距離dで収束する」と表現するのかなと思いました。
そう考えるとＱ４の意味も分かってくるので。

> Ａ４．ｄとｄ’が同値とは？
>
> taropooのおっしゃるのが正解と思います。

とすると、例えばdがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とするとｄ≦Ｍｄ’の定数Ｍの値っていくつになるんでしょう？

回答No.2

prome

j_euroさんがおっしゃってるのは、(代数的)位相幾何学Algebraic Topologyで、
位相空間論はGenaral Topologyです。
位相幾何学は位相空間（多様体）の分類を目的にしたもので、
ホモロジー群、ホモトピー群などを分類のための手段に用います。
位相空間論は位相幾何学や解析学を学ぶための知識として必要なものです。
ハイネ・ボレルの被覆定理（コンパクト性）などは解析学にも使いますから。

私も10数年前数学科に入り、位相空間論は鍛えられました。
これがわかってないと他の数学の理解もできないし、
またこの位相空間論が数学科１回生にとって一番とっつきにくい
「曲者」ですが、逆にこれが理解できれば他の代数、解析などは
何のことはないという感じです。

> で、結局「位相空間論」＝「トポロジー」なんですか？
に対する答えは、トポロジーを位相幾何学と解釈すると、
上記の説明の通り少し違います。

1950～60年代、数学の世界ではAlgebraic Topologyが全盛で、
フィールズ賞受賞者といえば、ほとんどがこの分野からでした。
しかし70年代以降、代数幾何学Algebraic Geometryが頭角を現し、
フィールズ賞受賞者はこちらの方が増えました。
日本のフィールズ賞受賞者の3人、小平邦彦、広中平祐、森氏（フルネームを
失念しました）はすべて代数幾何学の分野です。フェルマの最終定理を
解いたワイルズ氏もこの分野です。ちなみに数学を代数、解析、幾何と
３分類した時、代数幾何学は代数の分野です。

話が脱線してきたので、この辺で。

補足

Ｑ１．位相空間論⊃位相幾何学 ってことですか？

それと、下にも書きました別質問でのoodaikoさんのご回答の中に

> もっと一般の位相空間論では、「同値な距離による位相は同値である」ということがいえます。
> つまり距離dとd'が同値なら、距離dで収束する点列はd'でも収束し、逆も言えるということです。
> なお、距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数Ｍがあって、常にd≦Md' となると言う意味です。

という記述があるのですが、まず
Ｑ２．「位相」ってなんですか？三角関数でθとθ+2nπは位相が同じとか言いますが、関係ありますか？
Ｑ３．「距離dで収束する」ってどう言う事ですか？言葉の意味が分かりません。「点列a_nがbへ収束する」とかなら分かるのですが。
Ｑ４．「dとd'が同値とは常にd≦Md'」とありますが、日本語で「dとd'が同値」と「d'とdが同値」は同じですよね？という事はdとd'を入れ替えても成り立つ訳で、「dとd'が同値とはある定数M,M'があって、つねにd≦Md'かつd'≦M'd」って事になる気がしますがおかしいですか？

回答No.1

j_euro

「位相空間論」で検索すると、だいたいわかると思うんですが・・・
好きな人にはおもしろいです。

　トポロジってのがあって、一言でいうなら、「しわを伸ばして、ゴムみたく縮める」ということだと考えています。
僕はその辺（位相幾何とか）が好きなんで、ちょっと書きますね。

（１）線って、ゴムみたいなものだと縮んだら短い線になる。でも円は、縮んでも円のまま。
８の字は、円が２個なので、線や点、閉曲線とは違う。

（２）紙って、うらと表がありますね。新聞紙も名刺も切手も縮んだらサイズは関係なくなって、「裏と表」ということだけになる。三角の紙も、四角の紙も同じ仲間。
丸めても、伸ばしても「うらと表がある２次元もの」で、同じです。

（３）メビウスの環は、裏と表がくっついています。これは紙（２次元）を３次元の世界で扱ったためにできる技なのです。３次元と４次元では、クラインの壷ってのがそれにあたります。

なんかとりとめなくなってきました。
このへんで・・・

「ユークリッド空間」や「他の空間」については、また今度・・（あるのか？）

では、

補足

「位相空間論」で出てくるたった１件の質問が、この質問のきっかけです。
つまり、私のした質問「続、２変数関数の極限」に対するご回答の中に位相空間論という言葉が出てきて、
聞いた事はあるけど中身は知らなかったのと、その質問の中で位相空間論について聞いてしまうとそっちの質問の方が混乱状態になりそうでしたので別質問にしました。

トポロジーってのも聞いた事はあって、伸ばしたり縮めたり曲げたりして同じに出来るものは同じとみなすみたいな学問ですよね？
クラインの壷なんて高校の時「数学セミナー」でしってはまりましたね。ちょっと数学オタクでしたから。

で、結局「位相空間論」＝「トポロジー」なんですか？

参考ＵＲＬ：「続、２変数関数の極限」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93778