方程式の実数解の個数
問題 a は定数とする。方程式 ax =2logx + log3 の実数解の個数について調べよ。
ただし、lim(x → ∞) (logx)/x = 0 を用いてもよい。
真数条件より、x > 0 であるから、与えられた方程式は (2logx + log3)/x = a と同値。
f(x) = (2logx + log3)/x とすると、f ' (x) = (2-log3x^2)/ x^2
f(x) =0 とすると、x >0 であるから、log3x^2 = 2 より、 3x^2 = e^2, x = e/ √3
x > 0 における増減は、 0 < x < e/√3 のとき、f ' (x) > 0 , f(x)は 増加、
x = e/√3のとき、 f ' (x) = 0, f(x)= 極大値 2√3/e
e/√3 < x のとき f ' (x) < 0、f(x) は減少
また、lim (x→+0) = -∞, lim (x→∞) f(x) = 0
よって、グラフと直線y= a の共有点の個数から、実数解の個数は
2√3/e < a のとき 0 個
a ≦ 0 a = 2√3/e のとき 1 個
0 < a < 2√3/e のとき 2 個
※ ここで質問なのですが、上記のlim (x→∞) f(x) = 0 というのは、ロビタルの定理 lim (x→∞) logx /x = 0 より導くことができるのがわかります。 すなわち、f(x) はxが増えるにつれて、0に向かって収束するということですよね。
では、lim (x→+0) = -∞はこのグラフにおいてどういう意味なのでしょうか。
x→+0 というのは マイナス側から x=0 に近づけるということは分かるのですが、このグラフは真数条件の x >0 の範囲内にあてはまる、すなわち、このグラフのマイナス側は存在しないと思ったのですが。。。
詳しい方教えてください。
お願いします。
お礼
忙しい中、有難うございました。 Xを変化SASE,Aとなる値を求めてみます。