部分空間の証明
Sを距離空間、Yをノルム空間とし、SからYへの連続写像全体の集合をC(S,Y)で表す。また、Cb(S,Y)=Fb(S,Y)∩C(S,Y)と置く。
ただし、F(S,Y)はSからYへの写像全体の集合で、Fb(S,Y)={u∈F(S,Y)| sup(t∈S)||u(t)||_Y<∞}でとします。
この時Cb(S,Y)はFb(S,Y)の閉部分空間であることを示せ。
定義として
Xの部分集合YがXの部分空間である
⇔∀u,v∈Y,∀α,β∈Kに対してαx+βy∈Y
まず感覚的にですが、Cb(S,Y)⊂Fb(S,Y)なので部分集合であることはOK
後は∀u,v∈Cb(S,Y)、∀α,β∈Kに対してαx+βy∈Cb(S,Y)を示す。
u,v∈Cb(S,Y)よりx,y∈Fb(S,Y)
任意のt∈Sに対して、
||(αu+βv)(t)||=||αu(t)+βv(t)||
≦||αu(t)||+||βv(t)||=|α|*||u(t)||+|β|*||v(t)||
≦|α|sup(t∈S)||u(t)||+|β|sup(t∈S)||v(t)||
となるので有界であることは示せました。
後は連続性と閉集合であることを示したいのですが、
これはどのように示せばいいのでしょうか？
連続写像の和、スカラー倍は確かに連続写像となることは、
集合と位相あたりの本に書いてあったような気がしましたが…。
補足
はい、xは直積です。