閉集合？？

質問

以下の条件を満たす集合Aが閉集合になるらしいのですが、どうしてなのか理由がわかりません…

x,yを任意の実数とします。
A={t:0≦t≦1, x^t≦y^t}

初歩的なことだと思うのですが、アドバイスお願いします。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

もし 0≦x≦y なら、0≦tのすべてに対して、x^t≦y^tはいつも成り立つので、
　A={t: 0≦t≦1}
になり、両端の≦に＝が含まれるので閉集合ですよね。

もし 0≦y≦x なら、0<t≦1で x^t≦y^tは不成立で、t=0のときにはいつも 1=x^0≦y^0=1となり、＝によって、成立するので、
　A={t: t=0}={0}
になり、これも閉集合ですね。

もし x＜0≦y なら、負の数に対する x^t（0＜t＜1）は複素数になるので、不等式を考えることができず、一方 t=0とt=1については、x^0=1=y^0, x^1=x≦y=y^1が成立するので、
　A={t: t=0または1}={0,1}
になり、閉集合になります。

もし y＜0≦x なら、0＜t＜1 については同様に不等式を考えることはできず、t=0については等号が成立し、t=1についてはx^1＞y^1となりx^t≦y^t が不成立なので、
　A={t: t=0} = {0}
で閉集合です。

もし、x≦y＜0 のときには、0＜t＜1で不成立、t=0とt=1で成立なので、
　A={t: t=0または1}={0,1}
で閉集合。

もし、x＜y＜0 のときには、t=0でのみ成立なので、
　A={t: t=0} = {0}
で閉集合です。

以上、すべての場合に閉集合になります。

ミスがありましたらすみません。