サイコロの確立

質問

六面体のサイコロを３回振って、目の合計が１２になる確立を求める
サイコロのそれぞれの目は均等に出る

という問題なのですが、計算方法がよく分かりません
手書きで出うる目をすべて書き出したところ、回答は25/216という事は出たのですが、これじゃ賢いやり方とはいえないですよね
正しい計算方法を教えていただきたいです
よろしくお願いします

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

Ａ：　１回目と２回目の目の合計が５以下だったら、と来たら、３回目は何でもダメ。
Ｂ ：　１回目が６、２回目も６だったら、３回目は何でもダメ。

上記Ａ，Ｂ以外のパターンでありさえしなければ、
１回目と２回目が何であっても、３回目は６分の１の確率で、当たりになります。

Ａになるパターンは、
（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）
（２，１）（２，２）（２，３）
（３，１）（３，２）
（４，１）
の１０パターン。

Ｂになるパターンは、
（６，６）
の１パターン。

よって、２回目までにＡまたはＢになる確率は、
（１０＋１）／３６　＝　１１／３６

つまり、２回目終了時にＡにもＢにもならない確率は、
１　－　１１／３６　＝　２５／３６

ＡでもＢでもない場合、３回目に「当たり」になる確率は１／６であったので、
求める確率は、
２５／３６　×　１／６　＝　２５／２１６

以上、ご参考になりましたら。

お礼

なるほど、逆に「１２になりえない確立」を求めるのですね
いろいろなやり方があるのだなぁ、と感心してしまいます
回答ありがとうございます

回答No.5

Splatter

パスカルの三角形を応用した係数を求めることで算出が可能です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%AD#.E4.BB.BB.E6.84.8F.E3.81.AE.E5.90.88.E8.A8.88.E5.80.A4.E3.81.AE.E9.A0.86.E5.88.97.E6.95.B0

上記URLでは６面ダイスを３回振って合計１１になる見本があります。
任意の合計数で任意の面数、試行回数を設定することができます。
これは、紙面上では管理できないほどの膨大な計算になる場合に
活用することができます。

これが賢いやり方かと問われれば、多くの場合で違います。
上記の通り、紙に書いて総順列数を求めるほうが圧倒的に早い場合が
多いからです。

中学生～高校生ぐらいの数学知識がないと難しいかと思われます。

お礼

回答ありがとうございます
サイコロの数がもっと増えたりしたらこれを使えばいいのですね
書き出す方法とこの方法の両方を試してみたいと思います

回答No.4

solalin

すべて書き出すというやり方でよいと思います。
それが一番わかりやすいのではないでしょうか
たして１２になる数を（ｘ、ｙ、ｚ）として、（ただしｘ＜＝ｙ＜＝ｚ）
（1,5,6）（2,4,6）（2,5,5）（3,3,6）（3,4,5）（4,4,4）
ここで　（1,5,6）（2,4,6）（3,4,5）ではそれぞれ3！＝6であるから
3×3！＝18
（2,5,5）（3,3,6）ではそれぞれ3！/2！＝3であるから
２×3！/2！＝6
（4,4,4）は一通りであるから
あえて式を書くなら
（3×3！+２×3！/2！+1）/６×６×６
＝25/216となります
すべて書き並べるというやり方はこのような問題では、それほどだめなやり方ではないと思います。ただ、不規則に数え上げると数え間違いをするので、そのへんの注意が必要ですが

お礼

回答ありがとうございます
今回はサイコロ３個だったのでよかったのですが、サイコロの数が１０個や２０個などに増えたらどうしようもないな・・・と思ったのです
３個くらいの問題なら、無理に計算しようとするより書き出したほうが分かりやすいのですね
不規則に並べたおかげでだいぶ混乱しましたが、みなさんのやり方をみてもう一度やってみようと思います

回答No.2

kazukundegozaru

＞Ｎｏ．１です。誤記がありました、ｃの、残り２つの目の合計が６になる場合は、{１+５；２+４；３+３}の３通りです。失礼しました＾＾；

お礼

補足ありがとうございます

回答No.1

kazukundegozaru

私流のやり方ですが・・・、

まず、３つのサイコロのうち一番大きい目を一つ固定して考えます。そうすると、最低でも４という事になります。（最大が３では、３×３でも１２に満たないので）

ａ：最大数が４の場合
４+４+４=１２の１通りしかありません。

ｂ：最大数が５の場合
残りの２つの目の合計は７なので、その内訳は{２+５；３+４}の２パターンです（１+６は、最大数が５を越えているのでここでは数えない）
５・５・２が３通り、５・４・３が６通りなので合わせて９通り。

ｃ：最大数が６の場合
残りの２つの目の合計は６なので、その内訳は{１+５、２+３、３+３}の３パターンあります。
６・５・１と６・３・２が各６通り、６・３・３が３通りなので合わせて１５通り。

ａ，ｂ，ｃの合計で、（１+９+１５）/６×６×６=２５/２１６・・・となります。
もっとスマートな計算方法もあるかもしれませんが＾＾；

お礼

大きい値を固定する、というやり方なのですね
それならミスも少なそうです
事実、自分は適当に書き出したら２５通りと出すのに結構ミスをしてしまいました
回答ありがとうございます