数2です。3点が一直線上にある条件

質問

3直線 x+2y=1、3x-4y=1、ax+by=1が1点で交わるとき、異なる3点(1.2) (3.-4) (a.b)は一直線上にある事を証明せよ 。解説をみても理解できない為、こちらを解説してください。

回答No.3

noname#252159 · ベストアンサー

1) 3直線が1点で交わるときの、aとbとの関係を求めました。
　3a+b=5
ですが、aについて解いておいて、次で利用しやすいようにします。
a=-1/3b+ 5/3

2) (1,2) と (3,-4) を通る直線の式は
y= -3x+5
が求まります。
x座標をa としたときy座標がbとなれば、(a,b)は、y=-3x+5 上にあることが示されます。
このy=-3x+5 にx=aを代入し、さらに 上で求めたように a=-1/3b+5/3として、y座標を求めます。
　つまり、
3点(1,2) 、(3,-4)、(a,b) は同じ1次関数のグラフ y=-3x+5 にある。
また、1次関数のグラフは直線になるのですから、
3点(1,2) 、 (3,-4) 、(a,b) は同じ一直線上にあることになります。

回答No.2

f272

3直線 x+2y=1，3x-4y=1，ax+by=1が1点で交わるので，その交点を(p,q)とする。
つまりp+2q=1，3p-4q=1，ap+bq=1である。
ここでp=q=0ではないことに注意するとpx+qy=1という直線を考えることができる。(p=q=0であればpx+qy=1は直線ではない)
上で求めた3式から，この直線上に点(1，2)，(3，-4)，(a，b)があることがわかる。

回答No.1

asuncion

まずは、
x + 2y = 1 ... (1)
3x - 4y = 1 ... (2)
について、交点を求める。
(1)*2+(2)より、5x = 3, x = 3/5
(1)に代入して、2y = 2/5, y = 1/5
ax + by = 1
は(3/5, 1/5)を通る。
3a/5 + b/5 = 1, 3a + b = 5 ... (2)'
(1, 2), (3, -4)を通る直線をy = mx + nとする。
2 = m + n ... (3)
-4 = 3m + n ... (4)
(4)-(3)より、-6 = 2m, m = -3
(3)に代入して、n = 5
(1, 2), (3, -4)を通る直線は、y = -3x + 5, 3x + y = 5 ... (5)
(2)'と(5)は同じ形をしている。
∴(1, 2), (3, -4), (a, b)は同じ直線上にある。