導出計算の質問です（粉体）。

質問

この説明文で(１)式から(５)式を導出したいのですが、
その計算を教えて下さい。

　粒子充填層の最上部ｈ＝Ｈ[cm]まえ液を満たした状態から、
充填層の下に設けたストップバルブを開くと、
充填層の液は徐々に脱水され、最終的(ｔ＝ｔ∞)に
飽和液面は毛管ドレーン高さｈ＝ｈｄ[cm]に達する。
ここで、飽和度ｆ(ｈ)[－]は高さｈ[cm]の位置の全粒子間
空隙容積に対するそこに存在する液容積の割合である。
　粒子充填層単位断面積当たりの全液容積をｑ[cm^3cm^2]して、
飽和液面ｈL[cm]がＨ＞ｈL＞ｈｄの条件での重力脱水速度は
　－ｄq／ｄt＝((ｈL－ｈd)／ｄL)ρｇＫ／μ　　（１）
となる。ここで、Ｈ[cm]は充填層高さ、ｔ[ｓ]は脱水時間、
Ｋ[cm]は透過率、μ[g／(cm・ｓ)]は液粘度である。
　測定開始時ｔ＝０におけるｑ＝ｑｓ、最終平衡時ｔ＝ｔ∞におけるｑ＝ｑ∞、
また毛管ドレーン高さｈｄより下の液容積をｑc*[cm^3／cm^2]とすると、
ｑｓ、ｑ∞、ｑc*はそれぞれ(２)(３)(４)式で表される。
(ただし、ｑ,ｑs,ｑ∞は充填層全体に着目しているが、
ｑc*はｈｄ以下の充填層に着目している）
　ｑｓ＝Ｈε　　（２）
　ｑ∞＝ｈｄε＋(Ｈ－ｈｄ)εｆ　　（３）
　ｑc*＝ｈｄε　　（４）
ここで、(３)式のｆ[－]は、飽和液面ｈｄより上部に存在する
充填層内全空隙容積に対するその部分に残存する全液容積の割合である。
　式(２)(３)(４)を用いて(１)を積分すると、
ｑvs.ｔの関係として（５）式が得られる。
　ｑｓ－ｑ＋ｑc*(１－ｆ)ln((ｑｓ－ｑ∞)／(ｑ－ｑ∞))＝(ρｇＫ)ｔ／μ　　
　　　　　　　　　　　　・・・（５）

回答No.2

mmky · ベストアンサー

参考程度まで

－ｄq／ｄt＝((ｈL－ｈd)／ｄL)ρｇＫ／μ　　（１）
ｑ[cm^3/cm^2],　ρ[g/cm^2], ｇ[cm/s＾2] とすれば、
[cm/ｓ]＝[cm][ ][g/cm^2][cm/s＾2][cm][cm・ｓ/g]
＝[cm＾2/s][1/cm ]
ρを面密度とすると[ｄL]は[cm]の単位ですね。
残量を高さに換算したものと考えることができますので、
ρを面密度で[ｄL]を残量高としてやってみましょう。

－ｄq／ｄt＝((ｈL－ｈd)／ｄL)ρｇＫ／μ　　
((ｈL－ｈd)／ｄL)を変形しましょう。
((ｈL－ｈd)／ｄL)＝((ｈLε－ｈdε)/ｄLε
（２）（３）（４）の条件で

ｑｓ＝Ｈε　　（２）
ｑ∞＝ｈｄε＋(Ｈ－ｈｄ)εｆ　　（３）
　＝ｑc*＋ｑｓｆ－ｑc*ｆ
＝ｑｓｆ+ｑc*（1－ｆ）
ｑc*（1－ｆ）＝ｑ∞－ｑｓｆ　---（残量）
ｑc*＝ｈｄε　　（４）

更に、以下のように書き換えます。
((ｈLε－ｈdε)/ｄLε＝(ｑ-ｑ∞)/（ｑ∞－ｑｓｆ）
＝(ｑ-ｑ∞)/ｑc*（1－ｆ）

－ｄq／{(ｑ-ｑ∞)/ｑc*（1－ｆ)}＝(ρｇＫ／μ)ｄｔ
これをｔ＝0, ｑ＝ｑs, ｔ＝ｔ, ｑ＝ｑ　の範囲で積分
すると、
－∫ｄq／{(ｑ-ｑ∞)/ｑc*（1－ｆ)}＝∫(ρｇＫ／μ)ｄｔ

-ｑc*（1－ｆ)ln(ｑ－ｑ∞)|+C1=(ρｇＫt／μ)|
q(qs→ｑ） t(0→ｔ）
ｑc*（1－ｆ)｛ln(ｑs－ｑ∞)-ln(ｑ－ｑ∞)}+C1=(ρｇＫt／μ)
t＝0　ｑ＝ｑs, t＝∞　ｑ＝ｑ∞, なので、
積分定数Ｃ1、Ｃ1＝ｑ－ｑs　と置けば、
ｑ－ｑs+ｑc*（1－ｆ)｛ln(ｑs－ｑ∞)-ln(ｑ－ｑ∞)}=(ρｇＫt／μ)
ｑ－ｑs+ｑc*（1－ｆ)ln｛(ｑs－ｑ∞)/(ｑ－ｑ∞)}=(ρｇＫt／μ)
が導出できますね。

参考程度ですね。

回答No.1

mmky

記号の重複があって式によくわからないところがありますね。

－ｄq／ｄt＝((ｈL－ｈd)／ｄL)ρｇＫ／μ　　（１）
ｈLは高さの変数、ｈdは高さの定数で
ｄL または、Lの定義がないようにおもうけど？
何かの変分、それとも定数？

補足

ｈｄ：毛管ドレーン高さ
ｈＬ：飽和液面高さ

ｄＬとＬに関しては存在しないと思います。
私の知りうる情報はこの文書だけですので…。