面積速度一定の法則

質問

惑星の運動について、ケプラーの第二法則の解説がわからないので質問します。
今、焦点S(太陽)の楕円軌道上の点Pに位置する惑星を考える。ある微小時間後の位置をP'とすると、小さな弧PP'はPにおける速さと考えて良い。したがって弧PP'はPSの長さに反比例する。したがって楕円軌道上の他の点Qに位置したときの同じ微小時間後の位置をQ'とすればPP':QQ'=QS:PSこの式が導けませんでした。
上記の式が成り立つから2つの小扇型SPP'とSQQ'の面積は等しい。と本には書いてあります。

自分は、弧PP'はPSの長さに反比例するから、速さ=距離÷微小時間からPP'=PS/Δt 同様にして、QQ'=QS/Δt　よりPP':QQ'=PS/Δt:QS/Δt=PS:QSとなってしまいました。反比例のところがよくわかっていないから間違えたのではと思っていますが、PP'*PS=k(一定)、QQ'*QS=l(一定)と考えてもわかりませんでした。
物理の本ではなく、数学の歴史の本に書いてありました。
どなたか、物理の法則や公式を使わず、反比例の関係からPP':QQ'=QS:PSを導く方法を教えてください、お願いします。

回答No.2

dialectic · ベストアンサー

１変数関数において、「比例定数」が「変数」だったら、一般に反比例の関係にはならないですよ？
比例定数をkとlという2つの文字でおくと、（k＝lのときを除いて）反比例の関係を表現できなくなります。

お礼

お返事ありがとうございます。アルファベットの定数と変数を、区別できるように努力したいと思います。

回答No.1

dialectic

反比例の関係は比例定数をkとすると、題意より、
PP’=k/PS・・・(1)
QQ’=k/QS・・・(2)
とおける。
(1)より、k=PP’・PS
(2)より、k=QQ’・QS
よって、PP’・PS=QQ’・QS
したがって、PP':QQ'=QS:PS

お礼

反比例をしるした、お返事ありがとうございます。

補足

良かったらお返事ください。
なぜ比例定数kは、PP'とQQ'で同じなのでしょうか？
kは速さ×距離で微小時間ですか？