難しい図形問題

質問

長方形ABCDの各辺上に、図のように4つの点P,Q,R,Sをとり線分PRと線分QSの交点をOとする。三角形PQOと三角形RSOの面積が等しく、それぞれ30cm2であるとき、長方形ABCDの面積を求めよ。但し、AS=8cm、PB=10cm、QC=12cm、RD=8cmである。

A -----------S--------------D
|
P
|
|
|
B ----Q---------------------C

かなり中途半端な図ですみません。
あとは上の図で、線分DC上に点Rがあります。
分かりにくい図でホント申し訳ないです。
文章で細かく説明するより、図の方がと思ったのですが...

かなり色々と考えてみたのですが、どうしてもダメです。
もしよろしければ、ヒントだけでもいただきたいです。

回答No.4

coffeebar · ベストアンサー

238cm2で合っていると思います。

ちなみに、三平方の定理を使わなくても

三角形ASPと三角形CQR、三角形SPOと三角形QROが相似だと気付き、
AS:QC＝SP:QR＝SO:OQ＝PO:OR＝2:3
だと分かれば、もっとスムーズに解けると思います。

お礼

どうも比が苦手なんで、自分としては、実際の長さを求めた方が分かりやすかったです(^^;)
でも確かに、一般的には、coffeebarさんのおっしゃるやり方の方が良さそうです。。。

ありがとうございました！！
なんとか解けました！！
一見簡単そうに見えたのに、なかなか解けなくて困ってました。
本当に助かりました！！
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

coffeebar

「三角形SQCの面積を求める。」というヒントは遠すぎましたかね。
三角形SRCの面積を求めるために、三角形SQCの面積が要ります。

高さが同じで、底辺の長さの比が分かる三角形がいくつかありますよね。

これでどうでしょう？

補足

もしよろしければ、答え合わせお願いします。
三平方の定理より、RQとSPの長さが求まります（RQ=6√5、SP=4√5)。
そして、三角形SPOと三角形RQOの面積比は、RQとSPの長さより４：９。
また、三角形SPQと三角形SQRは高さが等しい三角形なので、面積比は２：３。
これらの面積比及び既知のそれぞれの30cm2より、三角形SPOと三角形RQOの面積が求まる。
で、三角形RQCも簡単に求まるから、四角形SQCRの面積が求まる。
で、SQCを求めたら、SRCが分かる。
SRCの面積と底辺は既知なので、高さSDを求めることができる。
で、SDの長さは９になりました。
問題の答えは238cm2。
これでいいですよね？？

回答No.2

coffeebar

再ヒント

三角形SQCの面積を求めます。

補足

・・・まだダメです・・・
求まらないです・・・

回答No.1

coffeebar

ヒントです。

三角形PQOと三角形RSOの面積が等しいということは、それぞれに三角形PSOを足した面積も等しいことになります。

つまり三角形PQSと三角形RSPの面積が等しい。この二つの三角形は底辺PSを共有していますから、高さが同じということになります。よってPSとRQは平行だと分かります。

すると相似の三角形が見つかり、与えられている線分の長さから相似比も分かります。

これで解けますか？

お礼

ありがとうございますm(_ _)m
おかげで、AP=4cm, RC=6cmは求められました！
ただ、まだSDかQBが求められず、困ってます(^^;)