三角形の面積

質問

△ABCがありBとCを3:2に内分する点をDとするとき
△ABDは3/5×△ABCになるのはなぜですか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

頂点Ａから直線ＢＣに垂線をたらし、ＢＣとの交点をＤとします。

△ＡＢＣの面積は、
△ＡＢＣ　＝　底辺×高さ÷２　＝　線分ＢＣ　×　線分ＡＤ　÷　２

△ＡＢＤの面積は、
△ＡＢＤ　＝　底辺×高さ÷２　＝　線分ＢＤ　×　線分ＡＤ　÷　２

よって、
△ＡＢＤ／△ＡＢＣ　＝　線分ＢＤ／線分ＢＣ　＝　３／５

よって、
△ＡＢＤ　＝　３／５　×　△ＡＢＣ

つまり、三角形の面積を求めるときの、高さは同じで、
底辺の長さが、
３／５　：　１
ということなのでした。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.5

takeches

別にその例に限らず、
△ABCがありBとCをx:yに内分する点をDとするとき
△ABDはx/(x+y)×△ABCになりますよ。
理由は高さが等しいからです。

回答No.4

take_5

質問者が中学生なら。。。。。？　解法としては、こっちのほうが易しいが。。。。。笑

△ＡＢＣ：△ＡＢＤ＝（ＡＢ）*（ＢＣ）：（ＡＢ）*（ＢＤ）＝（ＢＣ）：（ＢＤ）＝（ＢＣ）：（3/5）*（ＢＣ）＝1：（3/5）
従って、△ＡＢＤ＝（3/5）*△ＡＢＣ。

△ＡＢＣ：△ＡＢＤ＝（ＡＢ）*（ＢＣ）：（ＡＢ）*（ＢＤ）は、中学生でも習ってるはず。。。。。。。？

回答No.3

noname#75273

△ABD = BD × 高さh ÷ 2
　　= { AB × 3 / 5 } × 高さh ÷ 2
　　= { 3 / 5 } × AB × 高さh ÷ 2
　　= { 3 / 5 } × △ABC

回答No.2

take_5

高校生かな？　正弦定理を使えば簡単。

ＡＢ＝c、ＡＢ＝b、ＢＣ＝5a （ＢＤ＝3a、ＣＤ＝2a）とし、∠ＢＡＣ＝θ、∠ＡＢＣ＝α、∠ＡＣＢ＝βとする。
正弦定理より、外接円の半径をＲとすると、b＝2Ｒ*sinα、c＝2Ｒ*sinβ、5a＝2Ｒ*sinθ　‥‥(1)
△ＡＢＣ＝（bc）/2*sinθ＝（2Ｒ＾2）*sinα*sinβ*sinθ　‥‥(2)
△ＡＢＤ＝（3/2）*ac*sinα＝（3/5）*（2Ｒ＾2）*sinα*sinβ*sinθ　‥‥(3)
よって、(2)と(3)から、△ＡＢＤ＝（3/5）*△ＡＢＣ。