領域内の三角形の面積

質問

お世話になります。
下記の問題を考えたのですが、難しくて答えを求めることができませんでした。問題と考えたところまで書きますので、もしよろしければお付き合いください。

xy平面上で、x ≧ 0、y ≧ 0、y ≦ 1/xを満たす領域をDとする。
実数a、b、cをa ≧ 0、b ≧ 0、c ＞ 0とし、点A(a,0)、点B(0,b)、点C(c,1/c)を頂点とする三角形ABCと領域Dが重なる部分の面積をSとする。
Sの最大値を求めよ。

線分ACと線分BCのいずれも線分の途中で曲線y = 1/xと交わらず、線分ABが曲線y = 1/xより下にあれば、三角形ABCがDからはみ出さないのでその条件を考え、その条件下で得られる三角形ABCの面積の最大値を求めればよいのではと考えました。ここで、「線分ACと線分BCのいずれも線分の途中でy = 1/xと交わらない」と、「線分ABが曲線y = 1/xより下にある」は同値でよいと思います。
しかし、「Sが最大値を得る」ための必要条件が、「三角形ABCがDからはみ出さない」ということでよいのかどうか疑問です。もしそうであればそれを示さなければならないと思います。そこで困っています。

ご回答いただければ幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.1

Quattro99 · ベストアンサー

何か勘違いしているかも知れません。

a=0で、bが限りなく大きく、cが限りなく大きい場合、Sは領域Dとほとんど同じになるので、その場合がもっとも大きいのではないかと思いますが、そうなるとどういう値であってももっと広く取ることが出来てしまうことになり、最大値は存在しないのではないかと思うのですが。
もしかして最小値？

お礼

ご回答ありがとうございます。

a=0で、bが限りなく大きく、cが限りなく大きい場合、線分BCが曲線y = 1/xと交わるため、三角形ABCがDからはみ出しますが、そのはみ出した部分の面積が0に近づくとは思えません。
この場合、x ＞ 0で線分BCとy = 1/xが2点で交わりますが、交点のx座標が限りなく0に近い点と、限りなく大きな点で交わります。定積分ではみ出した部分の面積を考える際、線分BCは直線ですからy = 1次関数と表せて、
∫(1次関数 - 1/x)dx
を0から∞まで積分すると、発散するのではないでしょうか。
はみ出さない部分が発散するのは言うまでもありません。

また、最小値はa = b = 0(cは任意の正数)のとき、S = 0ではないでしょうか。

補足

お礼に書いた
＞はみ出さない部分が発散するのは言うまでもありません。
は間違いですね。
失礼しました。