確率の問題

質問

次の確率の問題で

最初、赤玉n個、白玉m個がはいっている壺からランダムに
玉を取り出していき、最初に白玉を連続してr個引くまでの
引いた白玉と赤玉の期待値を求めてやりたいです。
r=2,3と限定的でもいいです。

1つ1つ場合分けして埋めていけば求まりそうなのですが、
すごく複雑になる気がしますし、求まりすらしない気もします。
きれいに立式できる解法がありますでしょうか？

回答No.2

f272

これは取り出した玉は基に戻すのだろうか？
結局白玉を連続してr個引けなかった場合には、どう考えればよいの？

補足

玉は取り出したままです（非復元）
白玉が尽きた場合はすべて取り出すと考えてください。

回答No.1

rabbit_cat

「最初、赤玉n個、白玉m個がはいっている壺からランダムに
玉を取り出していき、最初に白玉を連続してr個引くまでの
引いた白玉と赤玉の期待値」
を X(n,m,r) とでも書けば、
X(n,m,r) = r×{m×(m-1)×…×(m-r+1)}/{(n+m)×(n+m-1)×…×(n+m-r+1)} + {X(n-1,m,r)+1}×n/(m+n)
　= r×m!×(n+m-r)!/{(n+m)!×(m-r)!} + {X(n-1,m,r)+1}×n/(m+n)
ですかね。

補足

回答ありがとうございます。
X(0,m,r)=r
X(1,m,r)=(-r^2+(m+2)*r+1)/(m+1)

は求まりましたが、X(2,m,r)はかなり複雑になり
一般解は推測できませんでした