漸化式

質問

漸化式を用いる場合、ｎ≧２などを用いて照明しなければならないのですか？
証明しなければならない理由を教えてください

回答No.3

tecchan22 · ベストアンサー

具体的に説明しましょう。

ａ（ｎ＋１）＝ａ（ｎ）＋ｎ　（ｎ＝1,2,3,・・・）
ａ（１）＝２
とするとき、

漸化式を繰り返し用いて、
ａ（４）
＝ａ（３）＋３
＝ａ（２）＋２＋３
＝ａ（１）＋１＋２＋３

と変形できますよね。この方法を繰り返し法と言って（僕が勝手に名付けました）、昔は良く使われていた方法です。（最近高校の教科書の書き方が変わって、このやり方はあまり見られなくなりましたが）

さて、このように、ｎ≧２の時には、漸化式を繰り返し使って、ａ（１）にまで変形できるわけです。

このことを、

ｎ≧２のとき、
ａ（ｎ）
＝ａ（ｎ－１）＋（ｎ－１）
＝ａ（ｎ－２）＋（ｎ－２）＋（ｎ－１）
＝・・・
＝ａ（１）＋１＋２＋・・＋（ｎ－１）
（＝（ｎ＾２－ｎ＋２）／２）

のように書きます。
ｎ≧２でなければ、漸化式を用いた変形は出来ません（する必要もないし）ので、上の式変形は出来ないわけです。
逆に言えば、「漸化式を一回でも使って変形している以上、ｎ≧２」なのです。

それで最後にｎ＝１の場合（も同じ式で良いかどうか）の確認が必要です。

理由があって、（少なくとも高校で出てくる）ほとんどの場合には、ｎ＝１も同じ式で表されますが。

＃１さんの書き方で言えば、
ａ（２）－ａ（１）＝１
ａ（３）－ａ（２）＝２
ａ（４）－ａ（３）＝３
・・・・
ａ（ｎ）－ａ（ｎ－１）＝ｎ－１　　・・・※

辺々足して、ａ（ｎ）－ａ（１）＝１＋２＋・・＋（ｎ－１）　・・★
ですが、※でｎ≧２だから、★でもｎ≧２ですね。

ａ（１）は漸化式を使わずに出るし（出てるし）、ａ（ｎ）（ｎ≧２）は、漸化式を使わねば出ない。だから漸化式を用いてｎ≧２の場合を求め、最後にａ（１）を合わせるのですね。

お礼

とてもわかりやすかったです！
ありがとうございます

回答No.2

sugakusya

漸化式中にn-1が出てくるのでは？その場合n≧2という条件をつけなければ、n=1などもnが取りえることになり、n-1=0もありえる。n-1=0が成り立つとまずい時にこういった制限を付ける必要が生じる。一度よく見てください。
　つぎからもう少し質問を詳しくしてくださいね。

お礼

申し訳ないです。次から気をつけます。回答ありがとうございます

回答No.1

Tiffa9900

※a(n)は、nが下付きと見てください。

数列 a(n)、n=1,2,3・・・においては、
a(n)の値としては、a(1),a(2),a(3)・・・となると思います。

ここで、
漸化式：a(n)=a(n-1)+～といったものを考えた時、
n=1であれば、a(1)=a(0)+～となり、定義外のa(0)がでてきてしまいます。
その為、a(1)=ｘが定まっていて、
a(n)=a(n-1)+～ (n≧2)といった形で証明する事になります。

つまり、n≧2を用いて証明する理由は、そうしないと数列の初期値が定まらないからと言う事になります。

a(n+1)=a(n)+～ (n≧1) と考える事もできますが、
この場合、解く過程でa(n)=a(n-1)+～を利用する事はできません。

n≧2 であれば、
　a(n)=a(n-1)+～
　a(n+1)=a(n)+～
　　：

n≧1 であれば、
　a(n+1)=a(n)+～
　a(n+2)=a(n+1)+～
　　：

と考えるってことかな。

お礼

回答ありがとうございます